13. Уравнения: тригонометрия и логарифмы

а) Преобразуем уравнение:

1. Упростим логарифмическое уравнение:
   $$\sqrt{2}\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right) + \sin2x + 81 = 3^4 = 81$$
2. Используем тригонометрические тождества:
   $$\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right) = \sin x$$
   $$\sin2x = 2\sin x\cos x$$
3. Получаем уравнение:
   $$\sqrt{2}\sin x + 2\sin x\cos x = 0$$
   $$\sin x(\sqrt{2} + 2\cos x) = 0$$
4. Решаем полученные уравнения:

• $\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi k,\ k \in \mathbb{Z}$
• $\cos x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow x = \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k$ или $x = \dfrac{5\pi}{4} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}$

Ответ (а):
$$x = \pi k$$ $$x = \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k$$ $$x = \dfrac{5\pi}{4} + 2\pi k$$
где $k \in \mathbb{Z}$

б) Найдем корни на отрезке $\left[\pi; \dfrac{5\pi}{2}\right]$:

1. Для $x = \pi k$:

• $k = 1 \Rightarrow x = \pi$
• $k = 2 \Rightarrow x = 2\pi$

2. Для $x = \dfrac{5\pi}{4} + 2\pi k$:

• $k = 0 \Rightarrow x = \dfrac{5\pi}{4}$

3. Для $x = \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k$:

• Нет решений на заданном отрезке

Ответ (б):
$$\pi,\ \dfrac{5\pi}{4},\ 2\pi$$

Итоговые ответы:
а) $\pi k;\ \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k;\ \dfrac{5\pi}{4} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}$

б) $\pi,\ \dfrac{5\pi}{4},\ 2\pi$

а) Решим уравнение:

1. Сделаем замену переменной:
   $$t = \log_2(2\cos x)$$
2. Получим квадратное уравнение:
   $$2t^2 -9t + 4 = 0$$
   Корни: $t_1 = \dfrac{1}{2}$, $t_2 = 4$
3. Вернемся к исходной переменной:

• Для $t = \dfrac{1}{2}$:
  $$2\cos x = \sqrt{2} \Rightarrow \cos x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$$
  Решения: $x = \pm\dfrac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$
• Для $t = 4$:
  $$2\cos x = 2^4 = 16 \Rightarrow \cos x = 8$$
  Нет решений, так как $|\cos x| \leq 1$

Ответ (а):
$$x = \pm\dfrac{\pi}{4} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}$$

б) Найдем корни на отрезке $\left[-2\pi; -\dfrac{\pi}{2}\right]$:

1. Для $x = -\dfrac{\pi}{4} + 2\pi k$:

• $k = -1 \Rightarrow x = -\dfrac{\pi}{4} — 2\pi = -\dfrac{9\pi}{4} \notin \left[-2\pi; -\dfrac{\pi}{2}\right]$
• $k = 0 \Rightarrow x = -\dfrac{\pi}{4} \notin \left[-2\pi; -\dfrac{\pi}{2}\right]$

2. Для $x = \dfrac{\pi}{4} + 2\pi k$:

• $k = -1 \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{4} — 2\pi = -\dfrac{7\pi}{4} \in \left[-2\pi; -\dfrac{\pi}{2}\right]$

Ответ (б):
$$-\dfrac{7\pi}{4}$$

Итоговые ответы:
а) $x = \pm\dfrac{\pi}{4} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}$
б) $-\dfrac{7\pi}{4}$

а) Преобразуем уравнение:

1. Упростим логарифмическое уравнение:
   $$\cos2x -9\sqrt{2}\cos x -8 = 13^0 = 1$$
2. Используем формулу косинуса двойного угла:
   $$\cos2x = 2\cos^2x- 1$$
3. Подставляем и получаем:
   $$2\cos^2x -9\sqrt{2}\cos x- 9 = 0$$
4. Решаем квадратное уравнение относительно $\cos x$:
   $$t = \cos x$$
   $$2t^2 — 9\sqrt{2}t -9 = 0$$
   $$D = (9\sqrt{2})^2 -4\cdot2\cdot(-9) = 162 + 72 = 234$$
   $$t = \dfrac{9\sqrt{2} \pm \sqrt{234}}{4}$$

• $\cos x = 5\sqrt{2}$ — нет решений (так как $5\sqrt{2} > 1$)
• $\cos x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

1. Находим решения:
   $$x = \pm\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$$

Ответ (а):
$$x = \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi n$$ $$x = -\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi n$$
где $n \in \mathbb{Z}$

б) Найдем корни на отрезке $\left[-2\pi; -\dfrac{\pi}{2}\right]$:

1. Для $x = -\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi n$:

• $n = 0 \Rightarrow x = -\dfrac{3\pi}{4}$
• $n = -1 \Rightarrow x = -\dfrac{3\pi}{4} — 2\pi = -\dfrac{11\pi}{4} \notin \left[-2\pi; -\dfrac{\pi}{2}\right]$

2. Для $x = \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi n$:

• $n = -1 \Rightarrow x = \dfrac{3\pi}{4}- 2\pi = -\dfrac{5\pi}{4}$

Ответ (б):
$$-\dfrac{5\pi}{4}, -\dfrac{3\pi}{4}$$

Итоговые ответы:
а) $\pm\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi n,\ n \in \mathbb{Z}$

б) $-\dfrac{5\pi}{4},\ -\dfrac{3\pi}{4}$