14. Уравнения: #194660

а) Преобразуем уравнение:

1. Упростим логарифмическое уравнение:
   $$\sqrt{2}\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right) + \sin2x + 81 = 3^4 = 81$$
2. Используем тригонометрические тождества:
   $$\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right) = \sin x$$
   $$\sin2x = 2\sin x\cos x$$
3. Получаем уравнение:
   $$\sqrt{2}\sin x + 2\sin x\cos x = 0$$
   $$\sin x(\sqrt{2} + 2\cos x) = 0$$
4. Решаем полученные уравнения:

• $\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi k,\ k \in \mathbb{Z}$
• $\cos x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow x = \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k$ или $x = \dfrac{5\pi}{4} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}$

Ответ (а):
$$x = \pi k$$ $$x = \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k$$ $$x = \dfrac{5\pi}{4} + 2\pi k$$
где $k \in \mathbb{Z}$

б) Найдем корни на отрезке $\left[\pi; \dfrac{5\pi}{2}\right]$:

1. Для $x = \pi k$:

• $k = 1 \Rightarrow x = \pi$
• $k = 2 \Rightarrow x = 2\pi$

2. Для $x = \dfrac{5\pi}{4} + 2\pi k$:

• $k = 0 \Rightarrow x = \dfrac{5\pi}{4}$

3. Для $x = \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k$:

• Нет решений на заданном отрезке

Ответ (б):
$$\pi,\ \dfrac{5\pi}{4},\ 2\pi$$

Итоговые ответы:
а) $\pi k;\ \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k;\ \dfrac{5\pi}{4} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}$

б) $\pi,\ \dfrac{5\pi}{4},\ 2\pi$