13. Уравнения: #194661

а) Решим уравнение:

1. Сделаем замену переменной:
   $$t = \log_2(2\cos x)$$
2. Получим квадратное уравнение:
   $$2t^2 -9t + 4 = 0$$
   Корни: $t_1 = \dfrac{1}{2}$, $t_2 = 4$
3. Вернемся к исходной переменной:

• Для $t = \dfrac{1}{2}$:
  $$2\cos x = \sqrt{2} \Rightarrow \cos x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$$
  Решения: $x = \pm\dfrac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$
• Для $t = 4$:
  $$2\cos x = 2^4 = 16 \Rightarrow \cos x = 8$$
  Нет решений, так как $|\cos x| \leq 1$

Ответ (а):
$$x = \pm\dfrac{\pi}{4} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}$$

б) Найдем корни на отрезке $\left[-2\pi; -\dfrac{\pi}{2}\right]$:

1. Для $x = -\dfrac{\pi}{4} + 2\pi k$:

• $k = -1 \Rightarrow x = -\dfrac{\pi}{4} — 2\pi = -\dfrac{9\pi}{4} \notin \left[-2\pi; -\dfrac{\pi}{2}\right]$
• $k = 0 \Rightarrow x = -\dfrac{\pi}{4} \notin \left[-2\pi; -\dfrac{\pi}{2}\right]$

2. Для $x = \dfrac{\pi}{4} + 2\pi k$:

• $k = -1 \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{4} — 2\pi = -\dfrac{7\pi}{4} \in \left[-2\pi; -\dfrac{\pi}{2}\right]$

Ответ (б):
$$-\dfrac{7\pi}{4}$$

Итоговые ответы:
а) $x = \pm\dfrac{\pi}{4} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}$
б) $-\dfrac{7\pi}{4}$