13. Уравнения: #194664

а) Преобразуем уравнение:

1. Упростим логарифмическое уравнение:
   $$\cos2x -9\sqrt{2}\cos x -8 = 13^0 = 1$$
2. Используем формулу косинуса двойного угла:
   $$\cos2x = 2\cos^2x- 1$$
3. Подставляем и получаем:
   $$2\cos^2x -9\sqrt{2}\cos x- 9 = 0$$
4. Решаем квадратное уравнение относительно $\cos x$:
   $$t = \cos x$$
   $$2t^2 — 9\sqrt{2}t -9 = 0$$
   $$D = (9\sqrt{2})^2 -4\cdot2\cdot(-9) = 162 + 72 = 234$$
   $$t = \dfrac{9\sqrt{2} \pm \sqrt{234}}{4}$$

• $\cos x = 5\sqrt{2}$ — нет решений (так как $5\sqrt{2} > 1$)
• $\cos x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

1. Находим решения:
   $$x = \pm\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$$

Ответ (а):
$$x = \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi n$$ $$x = -\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi n$$
где $n \in \mathbb{Z}$

б) Найдем корни на отрезке $\left[-2\pi; -\dfrac{\pi}{2}\right]$:

1. Для $x = -\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi n$:

• $n = 0 \Rightarrow x = -\dfrac{3\pi}{4}$
• $n = -1 \Rightarrow x = -\dfrac{3\pi}{4} — 2\pi = -\dfrac{11\pi}{4} \notin \left[-2\pi; -\dfrac{\pi}{2}\right]$

2. Для $x = \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi n$:

• $n = -1 \Rightarrow x = \dfrac{3\pi}{4}- 2\pi = -\dfrac{5\pi}{4}$

Ответ (б):
$$-\dfrac{5\pi}{4}, -\dfrac{3\pi}{4}$$

Итоговые ответы:
а) $\pm\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi n,\ n \in \mathbb{Z}$

б) $-\dfrac{5\pi}{4},\ -\dfrac{3\pi}{4}$