ЕГЭ, Математика (профильный уровень): 14. Уравнения: ло­га­риф­ми­че­ские уравнения

а) Решим уравнение:

1. Учитывая область определения и свойства логарифмов:
   $$\begin{cases}x^3 + 6x^2 -3x -19 = x + 5, \\ x + 5 > 0 \end{cases}$$
2. Преобразуем уравнение:
   $$x^3 + 6x^2 -4x -24 = 0$$ $$(x^2- 4)(x + 6) = 0$$ $$(x -2)(x + 2)(x + 6) = 0$$
3. Учитывая ограничение $x > -5$, получаем решения:
   $$x = -2,\ x = 2$$

Ответ (а): ${-2,\ 2}$

б) Определим корни, принадлежащие отрезку $[\log_{0.5} 100; \log_{0.5} 0.3]$:

1. Преобразуем границы отрезка:
   $$\log_{0.5} 100 = -\log_2 100 \approx -6.644$$
   $$\log_{0.5} 0.3 = \log_2 \dfrac{10}{3} \approx 1.737$$
2. Проверим корни:

• $x = -2 \in [-6.644; 1.737]$
• $x = 2 \notin [-6.644; 1.737]$

Ответ (б): $-2$

Итоговые ответы:
а) ${-2,\ 2}$
б) $-2$

а) Решим уравнение:

1. Преобразуем правую часть:
   $$\log_3\frac{x(4x^2-1)}{3}=\log_3x+\log_3(4x^2-1)-1$$
2. Перенесем все в левую часть:
   $$\log_3x\cdot\log_3(4x^2-1)-\log_3x-\log_3(4x^2-1)+1=0$$
3. Разложим на множители:
   $$(\log_3(4x^2-1)-1)(\log_3x-1)=0$$
4. Получаем два случая:

• $\log_3(4x^2-1)=1\Rightarrow4x^2-1=3\Rightarrow x^2=1\Rightarrow x=\pm1$
• $\log_3x=1\Rightarrow x=3$

1. Учитывая область определения ($x>0$ и $4x^2-1>0$), получаем решения:
   $$x=1,\ x=3$$

Ответ (а): ${1,\ 3}$

б) Определим корни, принадлежащие отрезку $[\log_5 2;\log_5 27]$:

1. Оценим границы отрезка:
   $$\log_5 2\approx0.4307$$
   $$\log_5 27\approx2.0478$$
2. Проверим корни:

• $x=1\in[0.4307;2.0478]$
• $x=3\notin[0.4307;2.0478]$

Ответ (б): $1$

Итоговые ответы:
а) ${1,\ 3}$
б) $1$

а) Решим уравнение $\log_7(x+2)=\log_{49}(x^4)$.

Область допустимых значений: $x+2>0,\quad x^4>0$, то есть $x>-2,\quad x\ne 0$.

Так как $49=7^2$, получаем: $$\log_{49}(x^4)=\dfrac{\log_7(x^4)}{\log_7 49}=\dfrac{1}{2}\log_7(x^4).$$

При $x\ne 0$ имеем $x^4=(x^2)^2$, поэтому $$\dfrac{1}{2}\log_7(x^4)=\dfrac{1}{2}\log_7((x^2)^2)=\log_7(x^2).$$

Следовательно, $\log_7(x+2)=\log_7(x^2)$.

Так как основания логарифмов одинаковы, приравниваем их аргументы:

$x+2=x^2$.
$x^2-x-2=0$.
$(x-2)(x+1)=0$.

Отсюда $x=2$ или $x=-1$. Оба значения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ (а): $x\in{-1;2}$.

б) Определим корни, принадлежащие отрезку $\left[\log_6\dfrac{1}{7};\log_6 35\right]$.

Поскольку $6>1$, функция $y=\log_6 x$ возрастает. Из неравенств $$\dfrac{1}{7}<\dfrac{1}{6}<35<36.$$

следует: $$\log_6\dfrac{1}{7}<\log_6\dfrac{1}{6}=-1<\log_6 35<\log_6 36=2.$$

Значит, корень $x=-1$ принадлежит указанному отрезку, а корень $x=2$ не принадлежит ему.

Ответ (б): $-1$.

Итоговые ответы:
а) $x\in{-1;2}$
б) $x=-1$.