13. Уравнения: Ло­га­риф­ми­че­ские уравнения

а) Решим уравнение:

1. Учитывая область определения и свойства логарифмов:
   $$\begin{cases}x^3 + 6x^2 -3x -19 = x + 5, \\ x + 5 > 0 \end{cases}$$
2. Преобразуем уравнение:
   $$x^3 + 6x^2 -4x -24 = 0$$ $$(x^2- 4)(x + 6) = 0$$ $$(x -2)(x + 2)(x + 6) = 0$$
3. Учитывая ограничение $x > -5$, получаем решения:
   $$x = -2,\ x = 2$$

Ответ (а): ${-2,\ 2}$

б) Определим корни, принадлежащие отрезку $[\log_{0.5} 100; \log_{0.5} 0.3]$:

1. Преобразуем границы отрезка:
   $$\log_{0.5} 100 = -\log_2 100 \approx -6.644$$
   $$\log_{0.5} 0.3 = \log_2 \dfrac{10}{3} \approx 1.737$$
2. Проверим корни:

• $x = -2 \in [-6.644; 1.737]$
• $x = 2 \notin [-6.644; 1.737]$

Ответ (б): $-2$

Итоговые ответы:
а) ${-2,\ 2}$
б) $-2$

а) Решим уравнение:

1. Преобразуем правую часть:
   $$\log_3\frac{x(4x^2-1)}{3}=\log_3x+\log_3(4x^2-1)-1$$
2. Перенесем все в левую часть:
   $$\log_3x\cdot\log_3(4x^2-1)-\log_3x-\log_3(4x^2-1)+1=0$$
3. Разложим на множители:
   $$(\log_3(4x^2-1)-1)(\log_3x-1)=0$$
4. Получаем два случая:

• $\log_3(4x^2-1)=1\Rightarrow4x^2-1=3\Rightarrow x^2=1\Rightarrow x=\pm1$
• $\log_3x=1\Rightarrow x=3$

1. Учитывая область определения ($x>0$ и $4x^2-1>0$), получаем решения:
   $$x=1,\ x=3$$

Ответ (а): ${1,\ 3}$

б) Определим корни, принадлежащие отрезку $[\log_5 2;\log_5 27]$:

1. Оценим границы отрезка:
   $$\log_5 2\approx0.4307$$
   $$\log_5 27\approx2.0478$$
2. Проверим корни:

• $x=1\in[0.4307;2.0478]$
• $x=3\notin[0.4307;2.0478]$

Ответ (б): $1$

Итоговые ответы:
а) ${1,\ 3}$
б) $1$

а) Решим уравнение:

1. Преобразуем логарифмы к одному основанию:
   $$\log_7(x+2)=\log_{7^2}(x^4)$$ $$\log_7(x+2)=\frac{1}{2}\log_7(x^4)$$ $$2\log_7(x+2)=\log_7(x^4)$$
2. Упростим уравнение:
   $$\log_7(x+2)^2=\log_7(x^4)$$ $$(x+2)^2=x^4$$
3. Решим полученное уравнение:
   $$x^2+4x+4=x^4$$ $$x^4-x^2-4x-4=0$$
4. Найдем корни:
   $$(x^2-2x-2)(x^2+2x+2)=0$$
   Решения:
   $$x=1\pm\sqrt{3}$$ (второй множитель не имеет действительных корней)
5. Проверим область определения:
   $$x+2>0 \Rightarrow x>-2$$ $$x^4>0 \Rightarrow x\neq0$$
6. Подходящие корни:
   $$x=1+\sqrt{3}\approx2.732$$ $$x=1-\sqrt{3}\approx-0.732$$

Ответ (а): ${1-\sqrt{3},1+\sqrt{3}}$

б) Определим корни, принадлежащие отрезку:

1. Вычислим границы отрезка:
   $$\log_6\frac{1}{7}\approx-1.086$$ $$\log_6 35\approx2.015$$
2. Проверим корни:

• $x=1-\sqrt{3}\approx-0.732\in[-1.086;2.015]$
• $x=1+\sqrt{3}\approx2.732\notin[-1.086;2.015]$

Ответ (б): $1-\sqrt{3}$

Итоговые ответы:
а) ${1-\sqrt{3},1+\sqrt{3}}$
б) $1-\sqrt{3}$