14. Уравнения: #194679

а) Решим уравнение $\log_7(x+2)=\log_{49}(x^4)$.

Область допустимых значений: $x+2>0,\quad x^4>0$, то есть $x>-2,\quad x\ne 0$.

Так как $49=7^2$, получаем: $$\log_{49}(x^4)=\dfrac{\log_7(x^4)}{\log_7 49}=\dfrac{1}{2}\log_7(x^4).$$

При $x\ne 0$ имеем $x^4=(x^2)^2$, поэтому $$\dfrac{1}{2}\log_7(x^4)=\dfrac{1}{2}\log_7((x^2)^2)=\log_7(x^2).$$

Следовательно, $\log_7(x+2)=\log_7(x^2)$.

Так как основания логарифмов одинаковы, приравниваем их аргументы:

$x+2=x^2$.
$x^2-x-2=0$.
$(x-2)(x+1)=0$.

Отсюда $x=2$ или $x=-1$. Оба значения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ (а): $x\in{-1;2}$.

б) Определим корни, принадлежащие отрезку $\left[\log_6\dfrac{1}{7};\log_6 35\right]$.

Поскольку $6>1$, функция $y=\log_6 x$ возрастает. Из неравенств $$\dfrac{1}{7}<\dfrac{1}{6}<35<36.$$

следует: $$\log_6\dfrac{1}{7}<\log_6\dfrac{1}{6}=-1<\log_6 35<\log_6 36=2.$$

Значит, корень $x=-1$ принадлежит указанному отрезку, а корень $x=2$ не принадлежит ему.

Ответ (б): $-1$.

Итоговые ответы:
а) $x\in{-1;2}$
б) $x=-1$.