13. Уравнения: #194679

а) Решим уравнение:

1. Преобразуем логарифмы к одному основанию:
   $$\log_7(x+2)=\log_{7^2}(x^4)$$ $$\log_7(x+2)=\frac{1}{2}\log_7(x^4)$$ $$2\log_7(x+2)=\log_7(x^4)$$
2. Упростим уравнение:
   $$\log_7(x+2)^2=\log_7(x^4)$$ $$(x+2)^2=x^4$$
3. Решим полученное уравнение:
   $$x^2+4x+4=x^4$$ $$x^4-x^2-4x-4=0$$
4. Найдем корни:
   $$(x^2-2x-2)(x^2+2x+2)=0$$
   Решения:
   $$x=1\pm\sqrt{3}$$ (второй множитель не имеет действительных корней)
5. Проверим область определения:
   $$x+2>0 \Rightarrow x>-2$$ $$x^4>0 \Rightarrow x\neq0$$
6. Подходящие корни:
   $$x=1+\sqrt{3}\approx2.732$$ $$x=1-\sqrt{3}\approx-0.732$$

Ответ (а): ${1-\sqrt{3},1+\sqrt{3}}$

б) Определим корни, принадлежащие отрезку:

1. Вычислим границы отрезка:
   $$\log_6\frac{1}{7}\approx-1.086$$ $$\log_6 35\approx2.015$$
2. Проверим корни:

• $x=1-\sqrt{3}\approx-0.732\in[-1.086;2.015]$
• $x=1+\sqrt{3}\approx2.732\notin[-1.086;2.015]$

Ответ (б): $1-\sqrt{3}$

Итоговые ответы:
а) ${1-\sqrt{3},1+\sqrt{3}}$
б) $1-\sqrt{3}$