13. Уравнения: #194678

а) Решим уравнение:

1. Преобразуем правую часть:
   $$\log_3\frac{x(4x^2-1)}{3}=\log_3x+\log_3(4x^2-1)-1$$
2. Перенесем все в левую часть:
   $$\log_3x\cdot\log_3(4x^2-1)-\log_3x-\log_3(4x^2-1)+1=0$$
3. Разложим на множители:
   $$(\log_3(4x^2-1)-1)(\log_3x-1)=0$$
4. Получаем два случая:

• $\log_3(4x^2-1)=1\Rightarrow4x^2-1=3\Rightarrow x^2=1\Rightarrow x=\pm1$
• $\log_3x=1\Rightarrow x=3$

1. Учитывая область определения ($x>0$ и $4x^2-1>0$), получаем решения:
   $$x=1,\ x=3$$

Ответ (а): ${1,\ 3}$

б) Определим корни, принадлежащие отрезку $[\log_5 2;\log_5 27]$:

1. Оценим границы отрезка:
   $$\log_5 2\approx0.4307$$
   $$\log_5 27\approx2.0478$$
2. Проверим корни:

• $x=1\in[0.4307;2.0478]$
• $x=3\notin[0.4307;2.0478]$

Ответ (б): $1$

Итоговые ответы:
а) ${1,\ 3}$
б) $1$