13. Уравнения: все задания

а) В левой части уравнения вынесем за скобки общий множитель $\sin x$: $$\sin x \cdot \left( 2 \sin x + \sqrt{2} \right) = 0{,}$$ откуда $\sin x = 0\ или\ \sin x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}.$ $\newline$Если $\sin x = 0,\ то\ x = \pi n,\ где\ n \in \mathbb{Z}.$ $\newline$Если $\sin x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2},\ то\ x = -\dfrac{\pi}{4} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$ $\newline$ или $x = -\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}.$ $\newline$ Таким образом, есть три серии решений: $$x = \pi n, n \in \mathbb{Z},$$ $$x = -\dfrac{\pi}{4} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z},$$ $$x = -\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}.$$

б) Теперь найдем корни на отрезке: $\left[ -2\pi; -\dfrac{\pi}{2} \right]$. Рассмотрим серию решений $-\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$: $$-2\pi \leq -\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k \leq -\dfrac{\pi}{2};$$ $$-\dfrac{5}{8} \leq k \leq \dfrac{1}{8}.$$ $\newline$ Единственное целое значение, для которого верно это неравенство, $ k = 0 $. Тогда: $$x = -\dfrac{3\pi}{4}.$$ $\newline$ Теперь рассмотрим серию решений: $$ -\dfrac{\pi}{4} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}; $$ $$-2\pi \leq -\dfrac{\pi}{4} + 2\pi m \leq -\dfrac{\pi}{2};$$ $$-\dfrac{7}{8} \leq m \leq -\dfrac{1}{8}.$$ $\newline$ Полученное неравенство не выполняется ни при каких целых $ m $. Следовательно, на отрезке $\left[ -2\pi; -\dfrac{\pi}{2} \right]$ нет решений из этой серии. $\newline$ Наконец, рассмотрим серию решений $\pi n, \, n \in \mathbb{Z}$: $$-2\pi \leq \pi n \leq -\dfrac{\pi}{2};$$ $$-2 \leq n \leq -\dfrac{1}{2}.$$ $\newline$ Полученное неравенство выполняется при $n=-1$ и $n=-2$. Значит:$$x=-\pi;$$ $$x=-2\pi.$$ $\newline$ Итак, корнями исходного уравнения, принадлежащими отрезку $\left[ -2\pi; -\dfrac{\pi}{2} \right]$, являются $-\dfrac{3\pi}{4}, -2\pi$ и $-\pi$.

а) Разложим левую часть уравнения на множители: $$2 \cos^2 x-\sqrt{2} \cos x + 4\sqrt{2} \cos x-4 = 0;$$ $$\left( 2 \cos x-\sqrt{2} \right) \left( \cos x + 2\sqrt{2} \right) = 0.$$ $\newline$ Откуда $\cos x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ или $\cos x =-2\sqrt{2}$.$\newline$ Поскольку $-2\sqrt{2} < -1$, второе уравнение не имеет корней. $\newline$ Если $\cos x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$, то $x = \dfrac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ $\newline$или $x = -\dfrac{\pi}{4} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$.

б) Теперь найдем корни на отрезке $\left[-2\pi;-\dfrac{\pi}{2} \right]$. Рассмотрим серию решений $\dfrac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$: $$-2\pi \leq \dfrac{\pi}{4} + 2\pi n \leq -\dfrac{\pi}{2};$$ $$-\dfrac{9}{8} \leq n \leq-\dfrac{3}{8}.$$ Учитывая, что $n$ — целое число, получаем $n =-1$. Тогда: $$x = \dfrac{\pi}{4}-2\pi =-\dfrac{7\pi}{4}.$$ Рассмотрим серию решений $-\dfrac{\pi}{4} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$: $$-2\pi \leq-\dfrac{\pi}{4} + 2\pi m \leq-\dfrac{\pi}{2};$$ $$ -\dfrac{7}{8} \leq m \leq -\dfrac{1}{8}.$$ Целых значений $m$, для которых верно это неравенство, не существует. Следовательно, на отрезке $\left[-2\pi; -\dfrac{\pi}{2}\right]$ нет решений из этой серии.$\newline$ Таким образом, единственным корнем исходного уравнения на отрезке $\left[-2\pi;-\dfrac{\pi}{2}\right]$ является $-\dfrac{7\pi}{4}$.

а) Разложим левую часть уравнения на множители:$$2 \sin^2 x-2 \sin x-\sin x + 1 = 0;$$ $$2 \sin x \cdot (\sin x-1)-(\sin x-1) = 0;$$ $$(\sin x-1)(2 \sin x-1) = 0.$$ $\newline$ Откуда $\sin x = 1$ или $\sin x = \dfrac{1}{2}$. $\newline$ Если $\sin x = 1$, то $x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$. $\newline$ Если $\sin x = \dfrac{1}{2}$, то $x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi m$, $m \in \mathbb{Z}$ или $\newline$ $x = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. $\newline$ Таким образом, решениями исходного уравнения являются: $$\dfrac{\pi}{2} + 2\pi n, \, n \in \mathbb{Z},$$ $$\dfrac{\pi}{6} + 2\pi m, \, m \in \mathbb{Z},$$ $$ \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k, \, k \in \mathbb{Z}.$$

б) Теперь найдем корни на отрезке $\left[-2\pi;-\dfrac{\pi}{2} \right]$. Рассмотрим серию решений $\dfrac{\pi}{2} + 2\pi n, \, n \in \mathbb{Z}$: $$-2\pi \leq \dfrac{\pi}{2} + 2\pi n \leq -\dfrac{\pi}{2};$$ $$-\dfrac{5}{4} \leq n \leq -\dfrac{1}{2}.$$ Откуда $n =-1$ — единственное целое значение, при котором данное неравенство верно. Значит, $$x = \dfrac{\pi}{2}-2\pi = -\dfrac{3\pi}{2}.$$ Теперь рассмотрим серию решений $\dfrac{\pi}{6} + 2\pi m, \, m \in \mathbb{Z}$:$$-2\pi \leq \dfrac{\pi}{6} + 2\pi m \leq -\dfrac{\pi}{2};$$ $$-\dfrac{13}{12} \leq m \leq -\dfrac{1}{3}.$$ Полученное неравенство выполняется при $m =-1$. Тогда: $$x = \dfrac{\pi}{6}-2\pi =-\dfrac{11\pi}{6}.$$ Наконец, рассмотрим серию решений $\dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k, \, k \in \mathbb{Z}$: $$-2\pi \leq \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k \leq -\dfrac{\pi}{2};$$ $$-\dfrac{17}{12} \leq k \leq -\dfrac{2}{3}.$$ Полученное неравенство выполняется при $k = -1$. Значит: $$x = \dfrac{5\pi}{6}-2\pi = -\dfrac{7\pi}{6}.$$ Итак, корнями исходного уравнения, принадлежащими отрезку $\left[ -2\pi; -\dfrac{\pi}{2} \right]$, являются $-\dfrac{3\pi}{2}$, $-\dfrac{11\pi}{6}$ и $-\dfrac{7\pi}{6}$.

a) В левой части уравнения вынесем за скобки общий множитель $\sin x$: $$\sin x \cdot \left( 2 \cos x + \sqrt{2} \right) = 0.$$ Откуда $\sin x = 0$ или $\cos x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}.$ $\newline$ Если $\sin x = 0$, то $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. $\newline$ Если $\cos x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, то $x = -\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi m, \, m \in \mathbb{Z}$ $\newline$ или $x = \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k, \, k \in \mathbb{Z}.$

б) Теперь найдем корни на отрезке $\left[ -2\pi; \, -\dfrac{\pi}{2} \right]$. Рассмотрим серию решений $\pi n, \, n \in \mathbb{Z}{:}$ $$-2\pi \leq \pi n \leq -\dfrac{\pi}{2};$$ $$-2 \leq n \leq -\dfrac{1}{2}.$$ Учитывая, что $n$ — целое число, получаем $n = -2$ или $n = -1$. $\newline$Значит, $x = -2\pi$ и $x = -\pi$. $\newline$ Теперь рассмотрим серию решений $-\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi m, \, m \in \mathbb{Z}$: $$-2\pi \leq -\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi m \leq -\dfrac{\pi}{2};$$ $$-\dfrac{5}{8} \leq m \leq \dfrac{1}{8}.$$ Получившееся неравенство выполняется при единственном целом значении $m = 0$. Тогда:$$x = -\dfrac{3\pi}{4}.$$ Наконец, рассмотрим серию решений $\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k, \, k \in \mathbb{Z}$: $$-2\pi \leq \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k \leq -\dfrac{\pi}{2};$$ $$-2 \leq n \leq -\dfrac{1}{2}.$$ Учитывая, что $n$ — целое число, получаем $n = -2$ или $n = -1$. $\newline$ Значит, $x = -2\pi$ и $x = -\pi$. $\newline$Теперь рассмотрим серию решений $-\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi m, \, m \in \mathbb{Z}$: $$-2\pi \leq -\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi m \leq -\dfrac{\pi}{2};$$ $$-\dfrac{5}{8} \leq m \leq \dfrac{1}{8}.$$Получившееся неравенство выполняется при единственном целом значении $m = 0$. Тогда: $$x = -\dfrac{3\pi}{4}.$$Наконец, рассмотрим серию решений $\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k, \, k \in \mathbb{Z}$:$$-2\pi \leq \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k \leq -\dfrac{\pi}{2};$$ $$-\dfrac{11}{8} \leq k \leq -\dfrac{5}{8}.$$ Тогда $k = -1$ — единственное целое значение, при котором данное неравенство верно. $\newline$Значит, $x = \dfrac{3\pi}{4}-2\pi = -\dfrac{5\pi}{4}$. $\newline$Итак, корнями исходного уравнения, принадлежащими отрезку $\left[ -2\pi; -\dfrac{\pi}{2} \right]$, являются $-2\pi$, $-\pi$, $-\dfrac{3\pi}{4}$ и $-\dfrac{5\pi}{4}$.

а) В левой части уравнения вынесем за скобки общий множитель $\cos x$:$$\cos x \cdot \left( \cos x + \sqrt{3} \sin x \right) = 0.$$ Следовательно, $\cos x = 0$ или $\cos x + \sqrt{3} \sin x = 0$.$\newline$Если $\cos x = 0$, то $x = -\dfrac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.$\newline$Если $\cos x + \sqrt{3} \sin x = 0$, то $\dfrac{\sin x}{\cos x} = \tg x = -\dfrac{\sqrt{3}}{3}$,$\newline$ откуда $x = -\dfrac{\pi}{6} + \pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.$\newline$Таким образом, мы получаем следующие серии решений:$$x = -\dfrac{\pi}{2} + \pi n, \, n \in \mathbb{Z},$$ $$x = -\dfrac{\pi}{6} + \pi m, \, m \in \mathbb{Z}.$$

б) Теперь найдем корни на отрезке $\left[ -2\pi; -\dfrac{\pi}{2} \right]$. Рассмотрим серию решений $-\dfrac{\pi}{2} + \pi n, \, n \in \mathbb{Z}:$ $$-2\pi \leq -\dfrac{\pi}{2} + \pi n \leq -\dfrac{\pi}{2};$$ $$-\dfrac{3}{2} \leq n \leq 0.$$ Учитывая, что $n$ — целое число, получаем $n = 0$ или $n = -1$.$\newline$ Значит, $x = -\dfrac{\pi}{2}$ и $x = -\dfrac{3\pi}{2}$.$\newline$ Теперь рассмотрим серию решений $-\dfrac{\pi}{6} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$:$$-2\pi \leq -\dfrac{\pi}{6} + \pi m \leq -\dfrac{\pi}{2};$$ $$-\dfrac{11}{6} \leq m \leq -\dfrac{1}{3}.$$ Получившееся неравенство выполняется при единственном целом $m = -1$. $\newline$Тогда $x = -\dfrac{7\pi}{6}$. $\newline$Таким образом, корнями исходного уравнения, принадлежащими отрезку $\left[ -2\pi; -\dfrac{\pi}{2} \right]$, являются $-\dfrac{\pi}{2}$, $-\dfrac{3\pi}{2}$ и $-\dfrac{7\pi}{6}$.

а) В левой части уравнения вынесем за скобки общий множитель $\cos x$:$$\cos x \cdot \left( 2 \cos x + \sqrt{2} \right) = 0.$$Откуда $\cos x = 0$ или $\cos x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.$\newline$Если $\cos x = 0$, то $x = -\dfrac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.$\newline$Если $\cos x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, то $x = -\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$ $\newline$ или $x = \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.$\newline$Таким образом, мы получаем следующие серии решений:$$x = -\dfrac{\pi}{2} + \pi n,\ n \in \mathbb{Z}, $$ $$x = -\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi m,\ m \in \mathbb{Z}, $$ $$ x = \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}.$$

б) Теперь найдем корни на отрезке $\left[ -2\pi; -\dfrac{\pi}{2} \right]$. Рассмотрим серию решений $-\dfrac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.$$-2\pi \leq -\dfrac{\pi}{2} + \pi n \leq -\dfrac{\pi}{2};$$ $$-\dfrac{3}{2} \leq n \leq 0.$$ Учитывая, что $n$ — целое число, получаем $n = -1$ или $n = 0$. Тогда:$$x = -\dfrac{\pi}{2}-\pi = -\dfrac{3\pi}{2};$$ $$x = -\dfrac{\pi}{2}.$$ Теперь рассмотрим серию решений $-\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi m, \, m \in \mathbb{Z}$:$$-2\pi \leq -\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi m \leq -\dfrac{\pi}{2};$$ $$-\dfrac{5}{8} \leq m \leq \dfrac{1}{8}.$$Получившееся неравенство выполняется при $m = 0$. Тогда:$$x = -\dfrac{3\pi}{4}.$$Наконец, рассмотрим серию $\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$:$$-2\pi \leq \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k \leq -\dfrac{\pi}{2};$$ $$-\dfrac{11}{8} \leq k \leq -\dfrac{5}{8}.$$Получившееся неравенство верно при $k = -1$. Тогда: $$x =\dfrac{3\pi}{4}-2\pi = -\dfrac{5\pi}{4}.$$Итак, корнями исходного уравнения, принадлежащими отрезку $\left[ -2\pi; -\dfrac{\pi}{2} \right]$, являются $-\dfrac{3\pi}{2}$, $-\dfrac{\pi}{2}$, $-\dfrac{3\pi}{4}$ и $-\dfrac{5\pi}{4}$.

а) Разложим левую часть уравнения на множители:$$2 \sin^2 x-\sqrt{2} \sin x + 4\sqrt{2} \sin x — 4 = 0;$$ $$\left( 2 \sin x-\sqrt{2} \right) \left( \sin x + 2\sqrt{2} \right) = 0.$$ Откуда $\sin x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ или $\sin x = -2\sqrt{2}$.$\newline$ Поскольку $-2\sqrt{2} < -1$, второе уравнение не имеет корней.$\newline$ Если $\sin x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$, то $x = \dfrac{\pi}{4} + 2\pi n, \, n \in \mathbb{Z}$ $\newline$ или $x = \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi m, \, m \in \mathbb{Z}$.

б) Теперь найдем корни на отрезке $\left[ -2\pi; -\dfrac{\pi}{2} \right]$.$\newline$Рассмотрим серию решений $\dfrac{\pi}{4} + 2\pi n, \, n \in \mathbb{Z}$:$$-2\pi \leq \dfrac{\pi}{4} + 2\pi n \leq -\dfrac{\pi}{2};$$ $$-\dfrac{9}{8} \leq n \leq -\dfrac{3}{8}.$$ Единственное целое значение, для которого верно это неравенство, — это $n = -1$. Тогда:$$x = \dfrac{\pi}{4}-2\pi = -\dfrac{7\pi}{4}.$$Рассмотрим серию решений $\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$:$$-2\pi \leq \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi m \leq -\dfrac{\pi}{2};$$ $$-\dfrac{11}{8} \leq m \leq -\dfrac{5}{8}.$$В этом случае подходит только $m = -1$. Тогда:$$x = \dfrac{3\pi}{4}-2\pi = -\dfrac{5\pi}{4}.$$Итак, корнями исходного уравнения, принадлежащими отрезку $\left[-2\pi; -\dfrac{\pi}{2}\right]$, являются $-\dfrac{7\pi}{4}$ и $-\dfrac{5\pi}{4}$.

a) Заметим, что $\sin \left( \dfrac{\pi}{2}-x \right) = \cos x$. Тогда исходное уравнение можно записать в следующем виде:$$2 \cos^2 x + \sqrt{2} \cos x = 0;$$ $$\cos x \cdot \left( 2 \cos x + \sqrt{2} \right) = 0.$$Откуда $\cos x = 0$ или $\cos x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.$\newline$Если $\cos x = 0$, то $x = -\dfrac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.$\newline$Если $\cos x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, то $x = -\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi m$, $m \in \mathbb{Z}$ $\newline$или $x = \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

6) Теперь найдем корни на отрезке $\left[ -2\pi; -\dfrac{\pi}{2} \right]$. Рассмотрим серию решений $-\dfrac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$:$$-2\pi \leq -\dfrac{\pi}{2} + \pi n \leq -\dfrac{\pi}{2};$$ $$-\dfrac{3}{2} \leq n \leq 0.$$ Учитывая, что $n$ — целое число, получаем $n = -1$ или $n = 0$. Тогда:$$x = -\dfrac{\pi}{2}-\pi = -\dfrac{3\pi}{2};$$ $$x = -\dfrac{\pi}{2}.$$ Теперь рассмотрим серию решений $-\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$: $$-2\pi \leq -\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi m \leq -\dfrac{\pi}{2};$$ $$-\dfrac{5}{8} \leq m \leq \dfrac{1}{8}.$$ Получившееся неравенство выполняется при $m = 0$. Тогда: $$x = -\dfrac{3\pi}{4}.$$ Наконец, рассмотрим серию $\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}{:}$ $$-2\pi \leq \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k \leq -\dfrac{\pi}{2};$$ $$-\dfrac{11}{8} \leq k \leq -\dfrac{5}{8}.$$ Получившееся неравенство верно при $k = -1$. Тогда:$\newline$ $$x = \dfrac{3\pi}{4}-2\pi = -\dfrac{5\pi}{4}$$ Итак, корнями исходного уравнения, принадлежащими отрезку $\left[ -2\pi; -\dfrac{\pi}{2} \right]$, являются $-\dfrac{3\pi}{4}, -\dfrac{5\pi}{4}$.

a) Заметим, что $\cos 2x = 2 \cos^2 x-1$. Разложим левую часть уравнения на множители:$$2 \cos^2 x-1-3 \cos x + 2 = 0;$$ $$2 \cos^2 x-3 \cos x + 1 = 0;$$ $$2 \cos^2 x-2 \cos x-\cos x + 1 = 0;$$ $$2 \cos x \cdot (\cos x-1)-(\cos x-1) = 0;$$ $$(\cos x-1)(2 \cos x-1) = 0.$$ Откуда $\cos x = 1$ или $\cos x = \dfrac{1}{2}$.$\newline$ Если $\cos x = 1$, то $x = 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$. $\newline$Если $\cos x = \dfrac{1}{2}$, то $x = -\dfrac{\pi}{3} + 2\pi m$, $m \in \mathbb{Z}$ $\newline$или $x = \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}.$

б) Теперь найдем корни на отрезке $\left[ -2\pi; \, -\dfrac{\pi}{2} \right]$. Рассмотрим серию решений $2\pi n, \, n \in \mathbb{Z}$.$$-2\pi \leq 2\pi n \leq -\dfrac{\pi}{2};$$ $$-1 \leq n \leq -\dfrac{1}{4}.$$ Тогда $ n = -1 $ — единственное целое значение, при котором данное неравенство верно.$\newline$ Значит, $ x = -2\pi $. $\newline$Рассмотрим серию решений $ -\dfrac{\pi}{3} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z} $: $$-2\pi \leq -\dfrac{\pi}{3} + 2\pi m \leq -\dfrac{\pi}{2};$$ $$-\dfrac{5}{6} \leq m \leq -\dfrac{1}{12}.$$ Целых $ m, $ удовлетворяющих полученным неравенствам, не существует. $\newline$Наконец, рассмотрим серию решений $ \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $: $$-2\pi \leq \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k \leq -\dfrac{\pi}{2};$$ $$-\dfrac{7}{6} \leq k \leq -\dfrac{5}{12}.$$ Получившееся неравенство выполняется при $ k = -1 $. Значит, $$x = \dfrac{\pi}{3} -2\pi = -\dfrac{5\pi}{3}.$$ Итак, корнями исходного уравнения, принадлежащими отрезку $\left[ -2\pi; \, -\dfrac{\pi}{2} \right]$, являются $ -2\pi $ и $ -\dfrac{5\pi}{3} $.

а) Разложим левую часть уравнения на множители: $$2 \cos^2 x-2 \cos x-\cos x + 1 = 0;$$ $$2 \cos x \cdot (\cos x-1)-(\cos x-1) = 0;$$ $$(\cos x-1)(2 \cos x-1) = 0.$$ Откуда $\cos x = 1$ или $\cos x = \dfrac{1}{2}$. $\newline$Если $\cos x = 1$, то $x = 2\pi n, \, n \in \mathbb{Z}$. $\newline$Если $\cos x = \dfrac{1}{2}$, то $x = -\dfrac{\pi}{3} + 2\pi m, \, m \in \mathbb{Z}$ $\newline$или $x = \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k, \, k \in \mathbb{Z}$.

б) Теперь найдем корни на отрезке $\left[ -2\pi; \, -\dfrac{\pi}{2} \right]$. $\newline$Рассмотрим серию решений $2\pi n, \, n \in \mathbb{Z}$: $$-2\pi \leq 2\pi n \leq -\dfrac{\pi}{2};$$ $$-1 \leq n \leq -\dfrac{1}{4}.$$ Тогда $ n =-1 $ — единственное целое значение, при котором данное неравенство верно. Значит, $ x = -2\pi $.$\newline$ Рассмотрим серию решений $ -\dfrac{\pi}{3} + 2\pi m, \, m \in \mathbb{Z} $: $$-2\pi \leq -\dfrac{\pi}{3} + 2\pi m \leq-\dfrac{\pi}{2};$$ $$-\dfrac{5}{6} \leq m \leq -\dfrac{1}{12}.$$ Целых $m$, удовлетворяющих полученным неравенствам, не существует. $\newline$Наконец, рассмотрим серию решений: $$\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k, \, k \in \mathbb{Z};$$ $$-2\pi \leq \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k \leq-\dfrac{\pi}{2};$$ $$-\dfrac{7}{6} \leq k \leq -\dfrac{5}{12}.$$ Получившееся неравенство выполняется при $ k =-1 $. Значит, $$x = \dfrac{\pi}{3}- 2\pi =-\dfrac{5\pi}{3}.$$ Итак, корнями исходного уравнения, принадлежащими отрезку $\left[-2\pi;-\dfrac{\pi}{2} \right]$, являются $-2\pi$ и $-\dfrac{5\pi}{3}$.

a) Воспользовавшись основным тригонометрическим тождеством, получаем: $$\sin^2 x = 1-\cos^2 x.$$ Тогда исходное уравнение можно записать в следующем виде:$$2-2 \cos^2 x-\sqrt{2} \cos x-2 = 0;$$ $$2 \cos^2 x + \sqrt{2} \cos x = 0;$$ $$\cos x \cdot \left( 2 \cos x + \sqrt{2} \right) = 0.$$ Откуда $\cos x = 0$ или $\cos x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.$\newline$ Если $\cos x = 0$, то $x = -\dfrac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.$\newline$ Если $\cos x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, то $x = -\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi m$, $m \in \mathbb{Z}$ $\newline$или $x = \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.$\newline$Таким образом, мы получаем следующие серии решений: $$x = -\dfrac{\pi}{2} + \pi n, \, n \in \mathbb{Z}, $$ $$ x = -\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi m,\ m \in \mathbb{Z}, $$ $$ x = \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k, \, k \in \mathbb{Z}.$$

6) Теперь найдем корни на отрезке $\left[ -2\pi; -\dfrac{\pi}{2} \right].$Рассмотрим серию решений $-\dfrac{\pi}{2}+\pi n, n \in \mathbb{Z}{:}$ $$-2\pi \leq -\dfrac{\pi}{2}+\pi n \leq -\dfrac{\pi}{2};$$ $$-\dfrac{3}{2} \leq n \leq 0.$$ Учитывая, что $n$ — целое число, получаем $n = -1$ или $n = 0$. Тогда: $$x = -\dfrac{\pi}{2}-\pi = -\dfrac{3\pi}{2},$$ $$x = -\dfrac{\pi}{2}.$$ Теперь рассмотрим серию решений $-\dfrac{3\pi}{4}+2\pi m, m \in \mathbb{Z}{:}$ $$-2\pi \leq -\dfrac{3\pi}{4}+2\pi m \leq -\dfrac{\pi}{2};$$ $$-\dfrac{5}{8} \leq m \leq \dfrac{1}{8}.$$ Получившееся неравенство выполняется при $m = 0$. Тогда: $$x = -\dfrac{3\pi}{4}.$$ Наконец, рассмотрим серию $\dfrac{3\pi}{4}+2\pi k, k \in \mathbb{Z}{:}$ $$-2\pi \leq \dfrac{3\pi}{4}+2\pi k \leq -\dfrac{\pi}{2};$$ Получившееся неравенство верно при $k = -1$. Тогда:$$x = \dfrac{3\pi}{4}-2\pi = -\dfrac{5\pi}{4}.$$ Итак, корнями исходного уравнения, принадлежащими отрезку $\left[ -2\pi; -\dfrac{\pi}{2} \right],$ являются $-\dfrac{3\pi}{2}, -\dfrac{\pi}{2},$ $-\dfrac{3\pi}{4}$ и $-\dfrac{5\pi}{4}.$

a) Заметим, что $$\cos \left( x + \dfrac{3\pi}{2} \right) = \sin x.$$ Разложим левую часть уравнения на множители: $$ 2\sin^2 x + 3\sqrt{2}\sin x-4 = 0; $$ $$ 2\sin^2 x-\sqrt{2}\sin x + 4\sqrt{2}\sin x-4 = 0; $$ $$\sin x \cdot \left( 2\sin x-\sqrt{2} \right) + 2\sqrt{2} \left( 2\sin x-\sqrt{2} \right) = 0; $$ $$\left( 2\sin x-\sqrt{2} \right) \left( \sin x + 2\sqrt{2} \right) = 0,$$ $\newline$ откуда $\sin x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\ или\ \sin x = -2\sqrt{2}.$ $\newline$Поскольку $-2\sqrt{2} < -1,$ второе уравнение не имеет корней. $\newline$Если $\sin x = \dfrac{\sqrt{2}}{2},$ то $x = \dfrac{\pi}{4} + 2\pi n,$ $n \in \mathbb{Z}$ $\newline$или $x = \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi m,$ $m \in \mathbb{Z}.$

6) Теперь найдем корни на отрезке $\left[ -2\pi; -\dfrac{\pi}{2} \right].$ Рассмотрим серию решений $\dfrac{\pi}{4} + 2\pi n,$ $n \in \mathbb{Z}{:}$ $$-2\pi \leq \dfrac{\pi}{4} + 2\pi n \leq -\dfrac{\pi}{2};$$ $$-\dfrac{9}{8} \leq n \leq -\dfrac{3}{8}.$$ Единственное целое значение, для которого верно это неравенство, — это $n = -1.$ Тогда: $$ x = \dfrac{\pi}{4}-2\pi = -\dfrac{7\pi}{4}. $$ Рассмотрим серию решений $\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}{:}$ $$-2\pi \leq \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi m \leq-\dfrac{\pi}{2};$$ $$-\dfrac{11}{8} \leq m \leq-\dfrac{5}{8}.$$ В этом случае подходит только $m = -1.$ Тогда: $$x = \dfrac{3\pi}{4}-2\pi = -\dfrac{5\pi}{4}.$$ Итак, корнями исходного уравнения, принадлежащими отрезку $\left[ -2\pi; -\dfrac{\pi}{2} \right],$ являются $-\dfrac{7\pi}{4}$ и $-\dfrac{5\pi}{4}.$

а) Заметим, что $$ \sin 2x = 2 \sin x \cos x.$$ Разложим левую часть уравнения на множители: $$2 \sin x \cos x + \sqrt{2} \cos x = 0;$$ $$\cos x \cdot \left( 2 \sin x + \sqrt{2} \right) = 0,$$ откуда $\cos x = 0 $ или $ \sin x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}.$ $\newline$ Если $ \cos x = 0,$ то $ x = -\dfrac{\pi}{2} + \pi n,$ где $ n \in \mathbb{Z}.$ $\newline$ Если $ \sin x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2},$ то $ x = -\dfrac{\pi}{4} + 2\pi m,$ $ m \in \mathbb{Z} $ $\newline$или $ x = -\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k,$ $ k \in \mathbb{Z}.$

б) Теперь найдем корни на отрезке $\left[-2\pi; -\dfrac{\pi}{2}\right].$ Рассмотрим серию решений $-\dfrac{\pi}{2} + \pi n,\ n \in \mathbb{Z}{:}$ $$-2\pi \leq -\dfrac{\pi}{2} + \pi n \leq -\dfrac{\pi}{2};$$ $$-\dfrac{3}{2} \leq n \leq 0.$$ Учитывая, что $ n $ – целое число, получаем, что $ n = 0 $ или $ n = -1.$ Значит, $$x = -\dfrac{\pi}{2},$$ $$ x = -\dfrac{\pi}{2}-\pi = -\dfrac{3\pi}{2}. $$ Теперь рассмотрим серию решений $-\dfrac{\pi}{4} + 2\pi m,\ m \in \mathbb{Z}{:}$ $$-2\pi \leq -\dfrac{\pi}{4} + 2\pi m \leq -\dfrac{\pi}{2}; $$ $$-\dfrac{7}{8} \leq m \leq -\dfrac{1}{8}. $$ Целых значений $m,$ для которых верно это неравенство, не существует. $\newline$ Следовательно, на отрезке $\left[ -2\pi; -\dfrac{\pi}{2} \right]$ нет решений из этой серии.$\newline$ Наконец, рассмотрим серию решений $-\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}{:}$ $$-2\pi \leq -\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k \leq -\dfrac{\pi}{2}; $$ $$-\dfrac{5}{8} \leq k \leq \dfrac{1}{8}. $$ Полученное неравенство выполняется при $k = 0.$ Значит, $$x = -\dfrac{3\pi}{4}.$$ $\newline$ Итак, корнями исходного уравнения, принадлежащими отрезку $\left[ -2\pi; -\dfrac{\pi}{2} \right],$ являются $-\dfrac{3\pi}{4}, -\dfrac{\pi}{2}$ и $-\dfrac{3\pi}{2}.$

а) Заметим, что $\sin \left( \dfrac{\pi}{2}-x \right) = \cos x.$ $\newline$ Разложим левую часть уравнения на множители: $$ 2 \sin x \cos x + \sqrt{2} \cos x = 0 ;$$ $$\cos x \cdot \left( 2 \sin x + \sqrt{2} \right) = 0,$$ откуда $\cos x = 0$ или $\sin x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}.$ $\newline$Если $\cos x = 0,$ то $x = -\dfrac{\pi}{2} + \pi n,$ где $n \in \mathbb{Z}.$ $\newline$ Если $\sin x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2},$ то $x = -\dfrac{\pi}{4} + 2\pi m,$ $m \in \mathbb{Z}$ $\newline$или $x = -\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k,$ $k \in \mathbb{Z}.$

б) Теперь найдем корни на отрезке $\left[ -2\pi; -\dfrac{\pi}{2} \right]{.}$ $\newline$ Рассмотрим серию решений $-\dfrac{\pi}{2} + \pi n,\ n \in \mathbb{Z}{:}$ $$-2\pi \leq -\dfrac{\pi}{2} + \pi n \leq -\dfrac{\pi}{2};$$ $$-\dfrac{3}{2} \leq n \leq 0.$$ Учитывая, что $n$ – целое число, получаем, что $n = 0$ или $n = -1.$ Значит, $$x = -\dfrac{\pi}{2},$$ $$ x = -\dfrac{\pi}{2}-\pi = -\dfrac{3\pi}{2}. $$ Теперь рассмотрим серию решений $-\dfrac{\pi}{4} + 2\pi m,\ m \in \mathbb{Z}{:}$ $$-2\pi \leq -\dfrac{\pi}{4} + 2\pi m \leq -\dfrac{\pi}{2};$$ $$-\dfrac{7}{8} \leq m \leq -\dfrac{1}{8}.$$ Целых значений $m,$ для которых верно это неравенство, не существует. $\newline$ Следовательно, на отрезке $\left[ -2\pi; -\dfrac{\pi}{2} \right]$ нет решений из этой серии. $\newline$ Наконец, рассмотрим серию решений $-\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}{:}$ $$-2\pi \leq -\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k \leq -\dfrac{\pi}{2};$$ $$-\dfrac{5}{8} \leq k \leq \dfrac{1}{8}.$$ Полученное неравенство выполняется при $k = 0.$ Значит, $$x = -\dfrac{3\pi}{4}.$$ Итак, корнями исходного уравнения, принадлежащими отрезку $\left[ -2\pi; -\dfrac{\pi}{2} \right],$ являются $-\dfrac{3\pi}{4}, -\dfrac{\pi}{2}$ и $-\dfrac{3\pi}{2}.$

a) Заметим, что $\cos 2x = 1-2 \sin^2 x.$ Разложим левую часть уравнения на множители: $$1-2 \sin^2 x-3\sqrt{2} \sin x + 3 = 0;$$ $$2 \sin^2 x + 3\sqrt{2} \sin x-4 = 0;$$ $$2 \sin^2 x-\sqrt{2} \sin x + 4\sqrt{2} \sin x-4 = 0;$$ $$\sin x \cdot \left( 2 \sin x-\sqrt{2} \right) + 2\sqrt{2} \left( 2 \sin x-\sqrt{2} \right) = 0;$$ $$\left( 2 \sin x-\sqrt{2} \right) \left( \sin x + 2\sqrt{2} \right) = 0,$$ откуда $\sin x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ или $\sin x = -2\sqrt{2}.$ $\newline$ Поскольку $-2\sqrt{2} < -1,$ второе уравнение не имеет корней. $\newline$ Если $\sin x = \dfrac{\sqrt{2}}{2},$ то $x = \dfrac{\pi}{4} + 2\pi n,$ $n \in \mathbb{Z}$ $\newline$или $x = \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}.$

б) Теперь найдем корни на отрезке $\left[ -2\pi; -\dfrac{\pi}{2} \right].$ $\newline$ Рассмотрим серию решений $\dfrac{\pi}{4} + 2\pi n,$ $n \in \mathbb{Z}{:}$ $$-2\pi \leq \dfrac{\pi}{4} + 2\pi n \leq -\dfrac{\pi}{2};$$ $$-\dfrac{9}{8} \leq n \leq -\dfrac{3}{8}.$$ Единственное целое значение, для которого верно это неравенство, – это $n = -1.$ Тогда: $$ x = \dfrac{\pi}{4}-2\pi = -\dfrac{7\pi}{4}. $$ Рассмотрим серию решений $\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}{:}$ $\newline$ $$-2\pi \leq \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi m \leq -\dfrac{\pi}{2};$$ $$-\dfrac{11}{8} \leq m \leq -\dfrac{5}{8}.$$ В этом случае подходит только $m = -1.$ Тогда: $$x = \dfrac{3\pi}{4}-2\pi = -\dfrac{5\pi}{4}.$$ Итак, корнями исходного уравнения, принадлежащими отрезку $\left[ -2\pi; -\dfrac{\pi}{2} \right],$ являются $-\dfrac{7\pi}{4}$ и $-\dfrac{5\pi}{4}.$

a) Заметим, что $\cos \left( \dfrac{\pi}{2}-x \right) = \sin x.$ $\newline$ Разложим левую часть уравнения на множители: $$ 2 \sin^2 x-3 \sin x + 1 = 0; $$ $$ 2 \sin^2 x-2 \sin x-\sin x + 1 = 0; $$ $$ 2 \sin x \cdot (\sin x-1)-(\sin x-1) = 0; $$ $$ (\sin x-1)(2 \sin x-1) = 0, $$ откуда $\sin x = 1$ или $\sin x = \dfrac{1}{2}.$ $\newline$Если $\sin x = 1,$ то $x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi n,$ $n \in \mathbb{Z}.$ $\newline$ Если $\sin x = \dfrac{1}{2},$ то $x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi m,$ $m \in \mathbb{Z}$ $\newline$или $x = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k,$ $k \in \mathbb{Z}.$

б) Теперь найдем корни на отрезке $\left[ -2\pi; -\dfrac{\pi}{2} \right].$ $\newline$ Рассмотрим серию решений $\dfrac{\pi}{2} + 2\pi n,\ n \in \mathbb{Z}{:}$ $$-2\pi \leq \dfrac{\pi}{2} + 2\pi n \leq -\dfrac{\pi}{2}; $$ $$-\dfrac{5}{4} \leq n \leq -\dfrac{1}{2},$$ откуда $n = -1$ – единственное целое значение, при котором данное неравенство верно. Значит, $$ x = \dfrac{\pi}{2}-2\pi = -\dfrac{3\pi}{2}. $$ Теперь рассмотрим серию решений $\dfrac{\pi}{6} + 2\pi m,\ m \in \mathbb{Z}{:}$ $$-2\pi \leq \dfrac{\pi}{6} + 2\pi m \leq -\dfrac{\pi}{2};$$ $$-\dfrac{13}{12} \leq m \leq -\dfrac{1}{3}.$$ Полученное неравенство выполняется при $m = -1.$ Тогда: $$x = \dfrac{\pi}{6}-2\pi = -\dfrac{11\pi}{6}.$$ Наконец, рассмотрим серию решений $\dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k, \ k \in \mathbb{Z}{:}$ $$-2\pi \leq \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k \leq -\dfrac{\pi}{2};$$ $$-\dfrac{17}{12} \leq k \leq -\dfrac{2}{3}.$$ Полученное неравенство выполняется при $k = -1.$ Значит, $$x = \dfrac{5\pi}{6}-2\pi = -\dfrac{7\pi}{6}.$$ Итак, корнями исходного уравнения, принадлежащими отрезку $\left[ -2\pi; -\dfrac{\pi}{2} \right],$ являются $-\dfrac{3\pi}{2},$ $-\dfrac{11\pi}{6}$ и $-\dfrac{7\pi}{6}.$

a) Заметим, что $\cos 2x = 2\cos^2 x-1.$ $\newline$ Тогда исходное уравнение можно записать в следующем виде: $$2\cos^2 x-1 + \sqrt{2}\cos x + 1 = 0;$$ $$2\cos^2 x + \sqrt{2}\cos x = 0;$$ $$\cos x \cdot \left( 2\cos x + \sqrt{2} \right) = 0.$$ Откуда $\cos x = 0$ или $\cos x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}.$ $\newline$ Если $\cos x = 0,$ то $x = -\dfrac{\pi}{2} + \pi n,$ где $n \in \mathbb{Z}.$ $\newline$ Если $\cos x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2},$ то $x = -\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi m,$ $m \in \mathbb{Z}$ $\newline$или $x = \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k,$ $k \in \mathbb{Z}.$ $\newline$ Таким образом, мы получаем следующие серии решений: $$x = -\dfrac{\pi}{2} + \pi n,\ n \in \mathbb{Z},$$ $$ x = -\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi m,\ m \in \mathbb{Z}, $$ $$ x = \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}.$$

б) Теперь найдем корни на отрезке $\left[ -2\pi; -\dfrac{\pi}{2} \right].$ $\newline$ Рассмотрим серию решений $-\dfrac{\pi}{2} + \pi n,\ n \in \mathbb{Z}{:}$ $$-2\pi \leq -\dfrac{\pi}{2} + \pi n \leq -\dfrac{\pi}{2};$$ $$-\dfrac{3}{2} \leq n \leq 0.$$ Учитывая, что $n$ — целое число, получаем $n = -1$ или $n = 0.$ Тогда: $$x = -\dfrac{\pi}{2}-\pi = -\dfrac{3\pi}{2},$$ $$x = -\dfrac{\pi}{2}.$$ Теперь рассмотрим серию решений $-\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}{:}$ $$-2\pi \leq -\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi m \leq -\dfrac{\pi}{2};$$ $$-\dfrac{5}{8} \leq m \leq \dfrac{1}{8}.$$ Получившееся неравенство выполняется при $m = 0.$ Тогда: $$x = -\dfrac{3\pi}{4}.$$ Наконец, рассмотрим серию $\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}{:}$ $$-2\pi \leq \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k \leq -\dfrac{\pi}{2};$$ $$-\dfrac{11}{8} \leq k \leq -\dfrac{5}{8}.$$ Получившееся неравенство верно при $k = -1.$ Тогда: $$x = \dfrac{3\pi}{4}-2\pi = -\dfrac{5\pi}{4}.$$ Итак, корнями исходного уравнения, принадлежащими отрезку $\left[ -2\pi; -\dfrac{\pi}{2} \right],$ являются $-\dfrac{3\pi}{2}, -\dfrac{\pi}{2},$ $-\dfrac{3\pi}{4}, -\dfrac{5\pi}{4}.$

а) Заметим, что $\cos 2x = 2\cos^2 x-1.$ $\newline$ Разложим левую часть уравнения на множители: $$2\cos^2 x-1 + 3\sqrt{2}\cos x-3 = 0;$$ $$2\cos^2 x + 3\sqrt{2}\cos x-4 = 0;$$ $$2\cos^2 x-\sqrt{2}\cos x + 4\sqrt{2}\cos x-4 = 0;$$ $$\left(2\cos x-\sqrt{2}\right)\left(\cos x + 2\sqrt{2}\right) = 0.$$ Откуда $\cos x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ или $\cos x = -2\sqrt{2}.$ $\newline$ Поскольку $-2\sqrt{2} < -1,$ второе уравнение не имеет корней. $\newline$ Если $\cos x = \dfrac{\sqrt{2}}{2},$ то $x = \dfrac{\pi}{4} + 2\pi n,$ $n \in \mathbb{Z}$ $\newline$или $x = -\dfrac{\pi}{4} + 2\pi m,$ $m \in \mathbb{Z}.$

6) Теперь найдем корни на отрезке $\left[ -2\pi; -\dfrac{\pi}{2} \right].$ $\newline$ Рассмотрим серию решений $\dfrac{\pi}{4} + 2\pi n,\ n \in \mathbb{Z}{:}$ $$-2\pi \leq \dfrac{\pi}{4} + 2\pi n \leq -\dfrac{\pi}{2};$$ $$-\dfrac{9}{8} \leq n \leq -\dfrac{3}{8}.$$ Учитывая, что $n$ — целое число, получаем $n = -1.$ Тогда: $$x = \dfrac{\pi}{4}-2\pi = -\dfrac{7\pi}{4}.$$ Рассмотрим серию решений $-\dfrac{\pi}{4} + 2\pi m,\ m \in \mathbb{Z}{:}$ $$-2\pi \leq -\dfrac{\pi}{4} + 2\pi m \leq -\dfrac{\pi}{2};$$ $$-\dfrac{7}{8} \leq m \leq -\dfrac{1}{8}.$$ Целых значений $m,$ для которых верно это неравенство, не существует. $\newline$ Следовательно, на отрезке $\left[ -2\pi; -\dfrac{\pi}{2} \right]$ нет решений из этой серии. $\newline$ Таким образом, единственным корнем исходного уравнения на отрезке $\left[ -2\pi; -\dfrac{\pi}{2} \right]$ является $-\dfrac{7\pi}{4}.$

а) Заметим, что $\sin \left( \dfrac{\pi}{2}-x \right) = \cos x.$ $\newline$ Разложим левую часть уравнения на множители: $$ 2 \cos^2 x-3 \cos x + 1 = 0; $$ $$ 2 \cos^2 x-2 \cos x-\cos x + 1 = 0; $$ $$ 2 \cos x \cdot (\cos x-1)-(\cos x-1) = 0; $$ $$ (\cos x-1)(2 \cos x-1) = 0. $$ Откуда $\cos x = 1$ или $\cos x = \dfrac{1}{2}.$ $\newline$ Если $\cos x = 1,$ то $x = 2\pi n,$ $n \in \mathbb{Z}.$ $\newline$ Если $\cos x = \dfrac{1}{2},$ то $x = -\dfrac{\pi}{3} + 2\pi m,$ $m \in \mathbb{Z}$ $\newline$или $x = \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k,$ $k \in \mathbb{Z}.$

б) Теперь найдем корни на отрезке $\left[ -2\pi; -\dfrac{\pi}{2} \right].$ $\newline$ Рассмотрим серию решений $2\pi n,$ $n \in \mathbb{Z}{:}$ $$ -2\pi \leq 2\pi n \leq -\dfrac{\pi}{2}; $$ $$ -1 \leq n \leq -\dfrac{1}{4}. $$ Тогда $n = -1$ – единственное целое значение, при котором данное неравенство верно. Значит, $$x = -2\pi.$$ Рассмотрим серию решений $-\dfrac{\pi}{3} + 2\pi m,\ m \in \mathbb{Z}{:}$ $$-2\pi \leq -\dfrac{\pi}{3} + 2\pi m \leq -\dfrac{\pi}{2};$$ $$-\dfrac{5}{6} \leq m \leq -\dfrac{1}{12}.$$ Целых $m,$ удовлетворяющих полученным неравенствам, не существует.$\newline$ Наконец, рассмотрим серию решений $\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}{:}$ $$-2\pi \leq \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k \leq -\dfrac{\pi}{2};$$ $$-\dfrac{7}{6} \leq k \leq -\dfrac{5}{12}.$$ Получившееся неравенство выполняется при $k = -1.$ Значит, $$x = \dfrac{\pi}{3}-2\pi = -\dfrac{5\pi}{3}.$$ Итак, корнями исходного уравнения, принадлежащими отрезку $\left[-2\pi; -\dfrac{\pi}{2}\right],$ являются $-2\pi$ и $-\dfrac{5\pi}{3}.$

а) Заметим, что $\cos 2x = 1-2 \sin^2 x.$ $\newline$ Разложим левую часть уравнения на множители: $$1- 2 \sin^2 x-2 \sqrt{3} \sin x \cos x-1 = 0;$$ $$\sin^2 x + \sqrt{3} \sin x \cos x = 0;$$ $$\sin x \cdot \left( \sin x + \sqrt{3} \cos x \right) = 0.$$ Откуда $\sin x = 0$ или $\sin x + \sqrt{3} \cos x = 0.$ $\newline$ Если $\sin x = 0,$ то $x = \pi n,$ где $n \in \mathbb{Z}.$ $\newline$ Если $\sin x + \sqrt{3} \cos x = 0,$ то $\tg x = -\sqrt{3}.$ $\newline$ Откуда $ x = -\dfrac{\pi}{3} + \pi m,$ где $m \in \mathbb{Z}.$

6) Теперь найдем корни на отрезке $\left[ -2\pi; -\dfrac{\pi}{2} \right].$ $\newline$ Рассмотрим серию решений $\pi n,\ n \in \mathbb{Z}{:}$ $$-2\pi \leq \pi n \leq -\dfrac{\pi}{2};$$ $$-2 \leq n \leq -\dfrac{1}{2}.$$ Учитывая, что $n$ — целое число, получаем $n = -2$, или $n = -1.$ Значит, $$x = -2\pi\ и\ x = -\pi.$$ Рассмотрим серию решений $-\dfrac{\pi}{3} + \pi m,\ m \in \mathbb{Z}{:}$ $$-2\pi \leq -\dfrac{\pi}{3} + \pi m \leq -\dfrac{\pi}{2};$$ $$-\dfrac{5}{3} \leq m \leq -\dfrac{1}{6}.$$ Получившееся неравенство выполняется при единственном целом значении $m = -1.$ Тогда: $$x = -\dfrac{\pi}{3}-\pi = -\dfrac{4\pi}{3}.$$ Итак, корнями исходного уравнения, принадлежащими отрезку $\left[ -2\pi; -\dfrac{\pi}{2} \right],$ являются $-2\pi, -\pi \, и \, -\dfrac{4\pi}{3}.$