14. Уравнения: #183839

а) В левой части уравнения вынесем за скобки общий множитель $\cos x$:$$\cos x \cdot \left( \cos x + \sqrt{3} \sin x \right) = 0.$$ Следовательно, $\cos x = 0$ или $\cos x + \sqrt{3} \sin x = 0$.$\newline$Если $\cos x = 0$, то $x = -\dfrac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.$\newline$Если $\cos x + \sqrt{3} \sin x = 0$, то $\dfrac{\sin x}{\cos x} = \tg x = -\dfrac{\sqrt{3}}{3}$,$\newline$ откуда $x = -\dfrac{\pi}{6} + \pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.$\newline$Таким образом, мы получаем следующие серии решений:$$x = -\dfrac{\pi}{2} + \pi n, \, n \in \mathbb{Z},$$ $$x = -\dfrac{\pi}{6} + \pi m, \, m \in \mathbb{Z}.$$

б) Теперь найдем корни на отрезке $\left[ -2\pi; -\dfrac{\pi}{2} \right]$. Рассмотрим серию решений $-\dfrac{\pi}{2} + \pi n, \, n \in \mathbb{Z}:$ $$-2\pi \leq -\dfrac{\pi}{2} + \pi n \leq -\dfrac{\pi}{2};$$ $$-\dfrac{3}{2} \leq n \leq 0.$$ Учитывая, что $n$ — целое число, получаем $n = 0$ или $n = -1$.$\newline$ Значит, $x = -\dfrac{\pi}{2}$ и $x = -\dfrac{3\pi}{2}$.$\newline$ Теперь рассмотрим серию решений $-\dfrac{\pi}{6} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$:$$-2\pi \leq -\dfrac{\pi}{6} + \pi m \leq -\dfrac{\pi}{2};$$ $$-\dfrac{11}{6} \leq m \leq -\dfrac{1}{3}.$$ Получившееся неравенство выполняется при единственном целом $m = -1$. $\newline$Тогда $x = -\dfrac{7\pi}{6}$. $\newline$Таким образом, корнями исходного уравнения, принадлежащими отрезку $\left[ -2\pi; -\dfrac{\pi}{2} \right]$, являются $-\dfrac{\pi}{2}$, $-\dfrac{3\pi}{2}$ и $-\dfrac{7\pi}{6}$.