14. Уравнения: #183848

а) Разложим левую часть уравнения на множители:$$2 \sin^2 x-\sqrt{2} \sin x + 4\sqrt{2} \sin x — 4 = 0;$$ $$\left( 2 \sin x-\sqrt{2} \right) \left( \sin x + 2\sqrt{2} \right) = 0.$$ Откуда $\sin x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ или $\sin x = -2\sqrt{2}$.$\newline$ Поскольку $-2\sqrt{2} < -1$, второе уравнение не имеет корней.$\newline$ Если $\sin x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$, то $x = \dfrac{\pi}{4} + 2\pi n, \, n \in \mathbb{Z}$ $\newline$ или $x = \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi m, \, m \in \mathbb{Z}$.

б) Теперь найдем корни на отрезке $\left[ -2\pi; -\dfrac{\pi}{2} \right]$.$\newline$Рассмотрим серию решений $\dfrac{\pi}{4} + 2\pi n, \, n \in \mathbb{Z}$:$$-2\pi \leq \dfrac{\pi}{4} + 2\pi n \leq -\dfrac{\pi}{2};$$ $$-\dfrac{9}{8} \leq n \leq -\dfrac{3}{8}.$$ Единственное целое значение, для которого верно это неравенство, — это $n = -1$. Тогда:$$x = \dfrac{\pi}{4}-2\pi = -\dfrac{7\pi}{4}.$$Рассмотрим серию решений $\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$:$$-2\pi \leq \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi m \leq -\dfrac{\pi}{2};$$ $$-\dfrac{11}{8} \leq m \leq -\dfrac{5}{8}.$$В этом случае подходит только $m = -1$. Тогда:$$x = \dfrac{3\pi}{4}-2\pi = -\dfrac{5\pi}{4}.$$Итак, корнями исходного уравнения, принадлежащими отрезку $\left[-2\pi; -\dfrac{\pi}{2}\right]$, являются $-\dfrac{7\pi}{4}$ и $-\dfrac{5\pi}{4}$.