14. Уравнения: #183829

а) Разложим левую часть уравнения на множители: $$2 \cos^2 x-\sqrt{2} \cos x + 4\sqrt{2} \cos x-4 = 0;$$ $$\left( 2 \cos x-\sqrt{2} \right) \left( \cos x + 2\sqrt{2} \right) = 0.$$ $\newline$ Откуда $\cos x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ или $\cos x =-2\sqrt{2}$.$\newline$ Поскольку $-2\sqrt{2} < -1$, второе уравнение не имеет корней. $\newline$ Если $\cos x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$, то $x = \dfrac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ $\newline$или $x = -\dfrac{\pi}{4} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$.

б) Теперь найдем корни на отрезке $\left[-2\pi;-\dfrac{\pi}{2} \right]$. Рассмотрим серию решений $\dfrac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$: $$-2\pi \leq \dfrac{\pi}{4} + 2\pi n \leq -\dfrac{\pi}{2};$$ $$-\dfrac{9}{8} \leq n \leq-\dfrac{3}{8}.$$ Учитывая, что $n$ — целое число, получаем $n =-1$. Тогда: $$x = \dfrac{\pi}{4}-2\pi =-\dfrac{7\pi}{4}.$$ Рассмотрим серию решений $-\dfrac{\pi}{4} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$: $$-2\pi \leq-\dfrac{\pi}{4} + 2\pi m \leq-\dfrac{\pi}{2};$$ $$ -\dfrac{7}{8} \leq m \leq -\dfrac{1}{8}.$$ Целых значений $m$, для которых верно это неравенство, не существует. Следовательно, на отрезке $\left[-2\pi; -\dfrac{\pi}{2}\right]$ нет решений из этой серии.$\newline$ Таким образом, единственным корнем исходного уравнения на отрезке $\left[-2\pi;-\dfrac{\pi}{2}\right]$ является $-\dfrac{7\pi}{4}$.