14. Уравнения: #184263

а) Воспользовавшись основным тригонометрическим тождеством, получаем: $$\sin^2 x = 1-\cos^2 x.$$ Тогда исходное уравнение можно записать в следующем виде:$$2-2 \cos^2 x-\sqrt{2} \cos x-2 = 0;$$ $$2 \cos^2 x + \sqrt{2} \cos x = 0;$$ $$\cos x \cdot \left( 2 \cos x + \sqrt{2} \right) = 0.$$ Откуда $\cos x = 0$ или $\cos x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.$\newline$ Если $\cos x = 0$, то $x = -\dfrac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.$\newline$ Если $\cos x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, то $x = -\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi m$, $m \in \mathbb{Z}$ $\newline$или $x = \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.$\newline$Таким образом, мы получаем следующие серии решений: $$x = -\dfrac{\pi}{2} + \pi n, \, n \in \mathbb{Z}, $$ $$ x = -\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi m,\ m \in \mathbb{Z}, $$ $$ x = \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k, \, k \in \mathbb{Z}.$$

6) Теперь найдем корни на отрезке $\left[ -2\pi; -\dfrac{\pi}{2} \right].$ Рассмотрим серию решений $-\dfrac{\pi}{2}+\pi n, n \in \mathbb{Z}{:}$ $$-2\pi \leq -\dfrac{\pi}{2}+\pi n \leq -\dfrac{\pi}{2};$$ $$-\dfrac{3}{2} \leq n \leq 0.$$ Учитывая, что $n$ — целое число, получаем $n = -1$ или $n = 0$. Тогда: $$x = -\dfrac{\pi}{2}-\pi = -\dfrac{3\pi}{2},$$ $$x = -\dfrac{\pi}{2}.$$ Теперь рассмотрим серию решений $-\dfrac{3\pi}{4}+2\pi m, m \in \mathbb{Z}{:}$ $$-2\pi \leq -\dfrac{3\pi}{4}+2\pi m \leq -\dfrac{\pi}{2};$$ $$-\dfrac{5}{8} \leq m \leq \dfrac{1}{8}.$$ Получившееся неравенство выполняется при $m = 0$. Тогда: $$x = -\dfrac{3\pi}{4}.$$ Наконец, рассмотрим серию $\dfrac{3\pi}{4}+2\pi k, k \in \mathbb{Z}{:}$ $$-2\pi \leq \dfrac{3\pi}{4}+2\pi k \leq -\dfrac{\pi}{2};$$ Получившееся неравенство верно при $k = -1$. Тогда:$$x = \dfrac{3\pi}{4}-2\pi = -\dfrac{5\pi}{4}.$$ Итак, корнями исходного уравнения, принадлежащими отрезку $\left[ -2\pi; -\dfrac{\pi}{2} \right],$ являются $-\dfrac{3\pi}{2}, -\dfrac{\pi}{2},$ $-\dfrac{3\pi}{4}$ и $-\dfrac{5\pi}{4}.$