1. Планиметрия: Треугольники общего вида
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $61^{\circ},$ $AD$ — биссектриса, угол $CAD$ равен $31^{\circ}.$ Найдите угол $B.$ Ответ дайте в градусах.
Так как $AD$ — биссектриса, угол $CAB$ равен: $$31+31 = 62$$
Сумма углов треугольника равна $180$ градусам. Найдем оставшийся угол в треугольнике $ABC$: $$180-61-62=57$$
20
Площадь треугольника $ABC$ равна $48.$ $DE$ — средняя линия. Найдите площадь треугольника $CDE.$
Треугольники $ACB$ и $DCE$ подобны по двум пропорциональным сторона и общему углу $C.$ Коэффициент подобия равен $2,$ так как стороны большего треугольника в $2$ раза больше.
Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия. $$2^2=4$$ $$48:4=12$$
20
Площадь треугольника $ABC$ равна $12.$ $DE$ — средняя линия. Найдите площадь треугольника $CDE.$
Треугольники $ACB$ и $DCE$ подобны по двум пропорциональным сторона и общему углу $C.$ Коэффициент подобия равен $2,$ так как стороны большего треугольника в $2$ раза больше.
Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия. $$2^2=4$$ $$12:4=3$$
20
Боковая сторона равнобедренного треугольника равна $13,$ а основание равно $24.$ Найдите площадь этого треугольника.
Так как треугольник равнобедренный, высота $CH,$ проведенная из угла $C$ будет являться медианой. Она разделит сторону $AB$ пополам: $$AH=HB=12.$$
В полученном треугольнике $ACH$ по теореме Пифагора найдем высоту $CH$:$$CH^2=13^2-12^2=25$$ $$CH=5$$
Площадь треугольника равна полупроизведению его основания на высоту. Найдем площадь треугольника $ACB$:$$\frac{1}{2}\cdot 24\cdot 5 = 60$$
20
Боковая сторона равнобедренного треугольника равна $15,$ а основание равно $24.$ Найдите площадь этого треугольника.
Так как треугольник равнобедренный, высота $CH,$ проведенная из угла $C$ будет являться медианой. Она разделит сторону $AB$ пополам: $$AH=HB=12.$$
В полученном треугольнике $ACH$ по теореме Пифагора найдем высоту $CH$:$$CH^2=15^2-12^2=81$$ $$CH=9$$
Площадь треугольника равна полупроизведению его основания на высоту. Найдем площадь треугольника $ACB$:$$\frac{1}{2}\cdot 24\cdot 9 = 108$$
20
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $124^{\circ},$ стороны $AC$ и $BC$ равны. Найдите угол $A.$ Ответ дайте в градусах.
Сумма углов треугольника равна $180$ градусам. Значит сумма углов $A$ и $B$ будет:$$180-124=56$$
Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, угол $A$ равен углу $B$:$$56:2=28$$
20
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $158^{\circ},$ стороны $AC$ и $BC$ равны. Найдите угол $A.$ Ответ дайте в градусах.
Сумма углов треугольника равна $180$ градусам. Значит сумма углов $A$ и $B$ будет:$$180-158=22$$
Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, угол $A$ равен углу $B$:$$22:2=11$$
20
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $22^{\circ}$, $AD$ — биссектриса, угол $BAD$ равен $16^{\circ}$. Найдите угол $ADB.$ Ответ дайте в градусах.
Так как $AD$ — биссектриса, угол $CAD$ будет также равен $16$ градусам.
Сумма углов треугольника равна $180$ градусам, поэтому угол $ADC$ будет:$$180-16-22=142$$
Искомый угол смежный с углом $ADC,$ их сумма равна $180$ градусам:$$180-142=38$$
20
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $16^{\circ}$, $AD$ — биссектриса, угол $BAD$ равен $30^{\circ}$. Найдите угол $ADB.$ Ответ дайте в градусах.
Так как $AD$ — биссектриса, угол $CAD$ будет также равен $16$ градусам.
Сумма углов треугольника равна $180$ градусам, поэтому угол $ADC$ будет:$$180-16-30=134$$
Искомый угол смежный с углом $ADC,$ их сумма равна $180$ градусам:$$180-134=46$$
20