Карточки
Тесты
Главная
Курсы
Подписка
15. Преобразование логических выражений: #292409
На числовой прямой даны два отрезка: $P=[17;54]$ и $Q=[37;83]$. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка $A$, что логическое выражение $$(x\in P)\to\bigl(((x\in Q)\land\neg(x\in A))\to\neg(x\in P)\bigr)$$ истинно (т.е. принимает значение $1$) при любом значении переменной $x$.
Внешняя импликация может быть ложна только при выполнении условия $x\in P$ и ложности внутренней импликации.
Внутренняя импликация $$((x\in Q)\land\neg(x\in A))\to\neg(x\in P)$$
ложна, когда одновременно выполняются условия:
- $x\in Q,$
- $x\notin A,$
- $x\in P.$
Следовательно, исходное выражение может быть ложно для значений $x\in P\cap Q$ и $x\notin A.$
Чтобы выражение было истинно при любом значении $x$, отрезок $A$ должен содержать пересечение отрезков $P$ и $Q$: $$P\cap Q=[37;54].$$
Наименьший подходящий отрезок: $A=[37;54].$ Его длина: $54-37=17.$
Наименьшая возможная длина отрезка: $17$.
20
