14. Системы счисления. Кодирование чисел: #292210

Преобразуем выражение: $3^{100}-x=(3^{100}-1)-(x-1).$

Число $3^{100}-1$ в троичной системе состоит из $100$ цифр $2$: $$3^{100}-1=\underbrace{22\ldots2}_{100}{}_3.$$

При вычитании числа $x-1$ заимствований не возникает, так как каждая его троичная цифра не превышает $2$.

Нуль в записи результата появляется на той позиции, где в троичной записи числа $x-1$ стоит цифра $2$.

Следовательно, необходимо найти наибольшее число $x-1$, не превышающее $2029$, в троичной записи которого содержится ровно одна цифра $2$.

Переведём число $2029$ в троичную систему: $2029=2210011_3.$

Чтобы получить наибольшее число с одной цифрой $2$, оставим цифру $2$ в старшем разряде. Во втором разряде вместо цифры $2$ необходимо поставить наибольшую допустимую цифру $1$. Все остальные разряды также заполним единицами: $x-1=2111111_3.$

Переведём это число в десятичную систему: $$2111111_3=2\cdot3^6+3^5+3^4+3^3+3^2+3+1,$$ $$2111111_3=1458+243+81+27+9+3+1=1822.$$

Следовательно: $$x-1=1822,$$ $$x=1823.$$

Проверим троичную запись выражения: $$3^{100}-1823=\underbrace{22\ldots2}_{93}0111111_3.$$

В этой записи содержится ровно один нуль.