14. Системы счисления. Кодирование чисел: #292209

Представим все слагаемые через степени числа $5$: $$4\cdot625^{1920}=4\cdot(5^4)^{1920}=4\cdot5^{7680},$$ $$4\cdot125^{1930}=4\cdot(5^3)^{1930}=4\cdot5^{5790},$$ $$-4\cdot25^{1940}=-4\cdot(5^2)^{1940}=-4\cdot5^{3880}.$$

Получаем: $$4\cdot5^{7680}+4\cdot5^{5790}-4\cdot5^{3880}-3\cdot5^{1950}-1960.$$

Преобразуем выражение: $$4\cdot5^{5790}-4\cdot5^{3880}$$ $$=3\cdot5^{5790}+(5^{1910}-5)\cdot5^{3880}+5^{3880}.$$

Следовательно, исходное выражение равно: $$4\cdot5^{7680}+3\cdot5^{5790}+(5^{1910}-5)\cdot5^{3880}$$ $$+(5^{3880}-3\cdot5^{1950}-1960).$$

В пятеричной системе: $$5^{1910}-5=\underbrace{44\ldots4}_{1909}0_5.$$

Рассмотрим последнее слагаемое: $$5^{3880}-3\cdot5^{1950}-1960$$ $$=(5^{1930}-4)\cdot5^{1950}+(5^{1950}-1960).$$

При этом: $$5^{1930}-4=\underbrace{44\ldots4}_{1929}1_5.$$

Переведём число $1960$ в пятеричную систему: $1960=30320_5.$

Так как $5^5-1960=3125-1960=1165=14130_5,$ получаем: $$5^{1950}-1960=\underbrace{44\ldots4}_{1945}14130_5.$$

Таким образом, пятеричная запись исходного числа имеет вид: $$4\underbrace{00\ldots0}{1889}3 \underbrace{44\ldots4}{1909}0$$ $$\underbrace{44\ldots4}{1929}1 \underbrace{44\ldots4}{1945}14130_5.$$

В записи содержатся:

• $1889$ нулей между первыми ненулевыми цифрами;
• один нуль после последовательности из $1909$ цифр $4$;
• один нуль в конце записи $14130_5$.

Общее количество значащих нулей: $1889+1+1=1891.$