Карточки
Тесты
Главная
Курсы
Подписка
14. Системы счисления. Кодирование чисел: #292206
Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием $19$: $$98x79731_{19}+36x14_{19}+73x4_{19}.$$ В записи чисел переменной $x$ обозначена неизвестная цифра из алфавита $19$-ричной системы счисления. Определите наименьшее значение $x$, при котором значение данного арифметического выражения кратно $18$. Для найденного значения $x$ вычислите частное от деления значения арифметического выражения на $18$ и укажите его в ответе в десятичной системе счисления. Основание системы счисления указывать не нужно.
Так как $19\equiv1\pmod{18},$ остаток числа, записанного в системе счисления с основанием $19$, при делении на $18$ равен остатку от суммы его цифр.
Сумма цифр первого числа: $9+8+x+7+9+7+3+1=44+x.$
- Сумма цифр второго числа: $3+6+x+1+4=14+x.$
- Сумма цифр третьего числа: $7+3+x+4=14+x.$
- Сумма цифр всего выражения: $(44+x)+(14+x)+(14+x)=72+3x.$
Для кратности выражения числу $18$ должно выполняться: $$72+3x\equiv0\pmod{18}.$$
Так как $72$ кратно $18$, получаем: $$3x\equiv0\pmod{18},$$ $$x\equiv0\pmod6.$$
Цифра $x$ в $19$-ричной системе счисления может принимать значения от $0$ до $18$. Подходящие значения: $x=0,\ 6,\ 12,\ 18.$
Наименьшее из них: $x=0.$
Вычислим значения чисел при $x=0$: $$98079731_{19}=8422189262,$$ $$36014_{19}=432140,$$ $$7304_{19}=49100.$$
Значение выражения: $$8422189262+432140+49100=8422670502.$$
Найдём частное от деления на $18$: $8422670502:18=467926139.$
20
