14. Системы счисления. Кодирование чисел: #292205

Преобразуем выражение: $$5^{150}+5^{100}-x=5^{150}+(5^{100}-1)-(x-1).$$

Число $5^{100}-1$ в пятеричной системе состоит из $100$ цифр $4$: $$5^{100}-1=\underbrace{44\ldots4}_{100}{}_5.$$

Между разрядами $5^{150}$ и $5^{99}$ находятся разряды с номерами от $149$ до $100$. Все они равны нулю.

Количество этих нулей: $149-100+1=50.$

Следовательно, чтобы во всей записи содержалось ровно $50$ нулей, в записи числа $(5^{100}-1)-(x-1)$ нулей быть не должно.

При вычитании числа $x-1$ из числа, состоящего из цифр $4$, заимствований не возникает. Нуль в результате появляется только на той позиции, где в пятеричной записи числа $x-1$ стоит цифра $4$.

Значит, необходимо найти наибольшее число $x-1$, не превышающее $2029$, в пятеричной записи которого нет цифры $4$.

Переведём число $2029$ в пятеричную систему: $2029=31104_5.$

В этой записи есть цифра $4$. Наибольшее число, не превышающее $31104_5$ и не содержащее цифру $4$: $31103_5.$

Переведём его в десятичную систему: $$31103_5=3\cdot5^4+1\cdot5^3+1\cdot5^2+3=2028.$$

Следовательно: $$x-1=2028,$$ $$x=2029.$$

Проверим запись выражения: $$5^{150}+5^{100}-2029=1\underbrace{00\ldots0}{50} \underbrace{44\ldots4}{95}13341_5.$$

В этой записи содержится ровно $50$ нулей.