Карточки
Тесты
Главная
Курсы
Подписка
14. Системы счисления. Кодирование чисел: #292204
Значение арифметического выражения: $$25^5+5^{15}-25$$ записали в системе счисления с основанием $5$. Сколько цифр $4$ содержится в этой записи?
Представим все слагаемые через степени числа $5$: $$25^5=(5^2)^5=5^{10},$$ $$25=5^2.$$
Получаем: $5^{15}+5^{10}-5^2.$
Рассмотрим разность: $5^{10}-5^2=5^2(5^8-1).$
Число $5^8-1$ в пятеричной системе записывается с помощью восьми цифр $4$: $$5^8-1=\underbrace{44\ldots4}_{8}{}_5.$$
При умножении на $5^2$ справа добавляются два нуля: $$5^{10}-5^2=\underbrace{44\ldots4}_{8}00_5.$$
Слагаемое $5^{15}$ добавляет единицу в разряд с номером $15$ и не изменяет последовательность цифр $4$.
Запись числа имеет вид: $$1\underbrace{00\ldots0}{5}\underbrace{44\ldots4}{8}00_5.$$
Следовательно, в пятеричной записи выражения содержится $8$ цифр $4$.
20
