14. Системы счисления. Кодирование чисел: #292202

Преобразуем выражение: $$7^{170}+7^{100}-x=7^{170}+(7^{100}-1)-(x-1).$$

Число $7^{100}-1$ в системе счисления с основанием $7$ состоит из $100$ цифр $6$: $$7^{100}-1=\underbrace{66\ldots6}_{100}{}_7.$$

Так как $x\leqslant2030<7^4=2401,$ число $x-1$ занимает не более четырёх разрядов в системе счисления с основанием $7$.

При вычитании числа $x-1$ из числа $7^{100}-1$ нуль появляется в тех разрядах, в которых в записи числа $x-1$ стоит цифра $6$.

Следовательно, необходимо найти наибольшее число $x-1$, не превышающее $2029$, в записи которого содержится максимальное количество цифр $6$.

Переведём число $2029$ в систему счисления с основанием $7$: $$2029=5\cdot7^3+6\cdot7^2+2\cdot7+6=5626_7.$$

Четыре цифры $6$ содержит число $6666_7=2400,$ но оно больше $2029$. Значит, максимальное возможное количество цифр $6$ равно трём.

Наибольшее число, не превышающее $5626_7$ и содержащее три цифры $6$: $4666_7.$

Переведём его в десятичную систему: $$4666_7=4\cdot7^3+6\cdot7^2+6\cdot7+6=1714.$$

Следовательно: $$x-1=1714,$$ $$x=1715.$$

При этом последние четыре цифры результата равны: $6666_7-4666_7=2000_7,$ то есть в них содержится три нуля — максимально возможное количество.