23. Молекулярная физика. Электродинамика: расчетная задача: #215765

$1)$ Запишем условие дифракционного максимума: $$d \sin \varphi = k\lambda$$

$2)$ Для малых углов $\sin \varphi \approx \tg \varphi = \dfrac{b}{L},$ где $b$ — расстояние от центрального максимума на экране, $L$ — расстояние от линзы до экрана: $$\dfrac{db}{L} = k\lambda$$

$3)$ Запишем это условие для красного и фиолетового света $(k = 2{:})$ $$\dfrac{db_k}{L} = 2\lambda_k, \quad \dfrac{db_{\text{ф}}}{L} = 2\lambda_{\text{ф}}$$

$4)$ Выразим координаты максимумов: $$b_k = \dfrac{2\lambda_k L}{d}, \quad b_{\text{ф}} = \dfrac{2\lambda_{\text{ф}} L}{d}$$
$5)$ Ширина спектра второго порядка: $$\Delta b = b_k- b_{\text{ф}} = \dfrac{2L(\lambda_k- \lambda_{\text{ф}})}{d}$$
$6)$ Выразим период решетки $d{:}$ $$d = \dfrac{2L(\lambda_k- \lambda_{\text{ф}})}{\Delta b}$$

$7)$ Подставим числовые значения: $$d = \dfrac{2 \cdot 2 \cdot (8 \cdot 10^{-7}- 4 \cdot 10^{-7})}{8 \cdot 10^{-2}} = \dfrac{4 \cdot 4 \cdot 10^{-7}}{8 \cdot 10^{-2}}$$

$8)$ Вычислим: $$d = \dfrac{16 \cdot 10^{-7}}{8 \cdot 10^{-2}} = 2 \cdot 10^{-5} \space \text{м} = 2 \cdot 10^{-3} \space \text{см}$$

$9)$ Найдем количество штрихов на $1 \space \text{см}{:}$ $$N = \dfrac{1 \space \text{см}}{d} = \dfrac{1}{2 \cdot 10^{-3}} = 500$$
Ответ: $500$ штрихов приходится на $1 \space \text{см}$ решетки.