23. Молекулярная физика. Электродинамика: расчетная задача: #215763

$1)$ Найдем период дифракционной решетки:$$d = \dfrac{0.1 \space \text{м}}{500} = 2 \cdot 10^{-4} \space \text{м}$$
$2)$ Запишем условие дифракционного максимума:$$d \sin \varphi = m\lambda$$
$3)$ Для малых углов $\sin \varphi \approx \tg \varphi = \dfrac{b}{L},$ где $b$ — расстояние от центрального максимума на экране, $L$ — расстояние от решетки до экрана: $$\dfrac{db}{L} = m\lambda$$
$4)$ Запишем это условие для красного и фиолетового света ($m = 3{:})$ $$\dfrac{db_k}{L} = 3\lambda_k, \quad \dfrac{db_{\text{ф}}}{L} = 3\lambda_{\text{ф}}$$
$5)$ Вычтем второе уравнение из первого:$$\dfrac{d(b_k- b_{\text{ф}})}{L} = 3(\lambda_k- \lambda_{\text{ф}})$$
$6)$ Выразим расстояние $L{:}$ $$L = \dfrac{d(b_k- b_{\text{ф}})}{3(\lambda_k- \lambda_{\text{ф}})}$$
$7)$ Подставим числовые значения: $$L = \dfrac{2 \cdot 10^{-4} \cdot 0.12}{3 \cdot (760- 380) \cdot 10^{-9}} = \dfrac{2.4 \cdot 10^{-5}}{3 \cdot 380 \cdot 10^{-9}}$$
$8)$ Вычислим: $$L = \dfrac{2.4 \cdot 10^{-5}}{1\space140 \cdot 10^{-9}} = \dfrac{2.4}{1.14} \cdot 10^{2} \approx 21.05 \space \text{м}$$
$9)$ Округлим до целых: $$L \approx 21 \space \text{м}$$
Ответ: $21 \space \text{м}$ расстояние от решетки до экрана.