19. Числа и их свойства: #212669

Число делится на $24,$ если оно делится на $3$ и на $8.$ Признак делимости на $3{:}$ сумма цифр делится на $3.$ Признак делимости на $8{:}$ число, образованное последними двумя цифрами, делится на $4.$

По условию, цифры расположены в порядке возрастания и их произведение равно $48.$ Разложим $48$ на множители-цифры $($ $1$–$9).$ Возможные наборы цифр в порядке возрастания:
$2,4,6{:}$ произведение $48,$ сумма $12;$
$3,4,4{:}$ цифры не все различные;
$2,3,8{:}$ произведение $48,$ сумма $13;$
$1,6,8{:}$ произведение $48,$ сумма $15;$
$1,4,12$ — не подходит;
$2,2,12$ — не подходит.

Из этих наборов только наборы с суммой цифр, делящейся на $3,$ подходят для делимости на $3.$ Сумма $12$ делится на $3,$ сумма $13$ не делится на $3,$ сумма $15$ делится на $3.$

Таким образом, подходящие наборы: $2,4,6$ и $1,6,8.$

Для набора $2,4,6{:}$ число $246.$
Проверим делимость на $8{:}$ последние две цифры $46 {:} \quad$ $46 : 4 = 11.5$ — не делится на $4.$
Другие комбинации: $264,$ $426,$ $462,$ $624,$ $642$ — но они не упорядочены по возрастанию.

Для набора $1,6,8{:}$ число $168.$
Проверим делимость на $8{:}$ последние две цифры $68 {:} \quad$ $68 : 4 = 17$ — делится на $4.$
Проверим порядок цифр: $1 < 6 < 8$ — цифры идут в порядке возрастания.
$168 : 24 = 7$ — делится на $24.$

Других чисел, удовлетворяющих всем условиям, нет. Например, число $186$ не упорядочено по возрастанию $(1 < 8 > 6),$ число $618$ также не упорядочено.

Таким образом, единственное число, удовлетворяющее всем условиям, — $168.$