19. Числа и их свойства: #212635

Если число дает равные остатки при делении и на $6,$ и на $15,$ можно рассматривать остатки от деления на НОК (наименьшее общее кратное) этих чисел, то есть на $30.$ Поскольку остаток от деления не может превышать значение наименьшего делителя, ищем числа вида $30n + r,$ где $r = 1, 2, 3, 4, 5.$

Также должно выполняться условие: первая цифра числа равна разности двух других цифр.

Переберем возможные значения $n$ и $r{:}$

$n=4{:}$ $121, 122, 123, 124, 125.$
число $121{:} \quad$ $1 = 2- 1$ — подходит;
— Остальные не удовлетворяют условию.

$n=5{:}$ $151, 152, 153, 154, 155.$
— Ни одно не удовлетворяет условию.

$n=6$: $181, 182, 183, 184, 185.$
число $182{:} \quad$ $1 = 8- 7$ — не подходит;
число $183{:} \quad$ $1 = 8- 5$ — не подходит;
число $184{:} \quad$ $1 = 8- 4$ — не подходит;
число $185{:} \quad$ $1 = 8- 3$ — не подходит.

$n=7$: $211, 212, 213, 214, 215$
число $213{:} \quad$ $2 = 3- 1$ — подходит;
число $214{:} \quad$ $2 = 4- 2$ — подходит.

$n=8$: $241, 242, 243, 244, 245$
число $242{:} \quad$ $2 = 4- 2$ — подходит;
число $243{:} \quad$ $2 = 4- 1$ — не подходит;
число $244{:} \quad$ $2 = 4- 2$ — подходит;
число $245{:} \quad$ $2 = 5- 3$ — не подходит.

$n=9$: $271, 272, 273, 274, 275$
число $273{:} \quad$ $2 = 7- 5$ — не подходит;
число $274{:} \quad$ $2 = 7- 3$ — не подходит;
число $275{:} \quad$ $2 = 7- 5$ — не подходит.

$n=10$: $301, 302, 303, 304, 305$
число $304{:} \quad$ $ 3 = 4- 1$ — подходит.

Проверим делимость с остатками:
число $121 {:} \quad 6 = 20$ (ост. $1$), $121 : 15 = 8$ $($ост. $1)$ — подходит;
число $213 {:} \quad 6 = 35$ (ост. $3$), $213 : 15 = 14$ $($ост. $3)$ — подходит;
число $214 {:} \quad 6 = 35$ (ост. $4$), $214 : 15 = 14$ $($ост. $4)$ — подходит;
число $242 {:} \quad 6 = 40$ (ост. $2$), $242 : 15 = 16$ $($ост. $2)$ — подходит;
число $244 {:} \quad 6 = 40$ (ост. $4$), $244 : 15 = 16$ $($ост. $4)$ — подходит;
число $304 {:} \quad 6 = 50$ (ост. $4$), $304 : 15 = 20$ $($ост. $4)$ — подходит.

Все числа трехзначные, с различными остатками, и первая цифра равна разности двух других.