19. Числа и их свойства: #212633

Число делится на $45,$ если оно делится на $5$ и на $9.$ Так как число делится на $5,$ оно должно оканчиваться на $0$ или на $5.$ Но по условию все цифры нечетные, поэтому последняя цифра может быть только $5.$

Используем признак делимости на $9$: сумма цифр числа должна делиться на $9.$

Пусть число имеет вид $abc5,$ где $a,b,c$ — различные нечетные цифры, отличные от $5.$

Нечетные цифры: $1, 3, 5, 7, 9.$ Так как цифры различны и последняя цифра $5,$ остаются цифры $1, 3, 7, 9$ для $a,$ $b,$ $c.$

Сумма цифр $a + b + c + 5$ должна делиться на $9.$

Рассмотрим возможные комбинации:
$1 + 3 + 7 + 5 = 16$ — не делится на $9;$
$1 + 3 + 9 + 5 = 18$ — делится на $9{:}$ числа $1395,$ $1935,$ $3195,$ $3915,$ $9135,$ $9315;$
$1 + 7 + 9 + 5 = 22$ — не делится на $9;$
$3 + 7 + 9 + 5 = 24$ — не делится на $9.$

Проверим полученные числа на делимость на $45{:}$
число $1395 {:} 45 = 31$ — подходит;
число $1935 {:} 45 = 43$ — подходит;
число $3195{:} 45 = 71$ — подходит;
число $3915 {:} 45 = 87$ — подходит;
число $9135 {:} 45 = 203$ — подходит;
число $9315 {:} 45 = 207$ — подходит.

Все цифры в этих числах различны и нечетны.1