19. Числа и их свойства: #212660

Число делится на $24,$ если оно делится на $3$ и на $8.$ Признак делимости на $3$: сумма цифр делится на $3.$ Признак делимости на $8{:}$ число, образованное последними тремя цифрами, делится на $8.$

По условию, сумма цифр равна $18,$ что делится на $3,$ поэтому условие делимости на $3$ выполняется автоматически.

Цифры расположены в порядке невозрастания справа налево, то есть число имеет вид $dcba,$ где $d \geq c \geq b \geq a.$

Подберем такие цифры, чтобы их сумма была $18$ и число делилось на $8.$

Рассмотрим возможные комбинации цифр с суммой $18{:}$
$9,9,0.0$ — но цифры не могут быть упорядочены как $d \geq c \geq b \geq a$ с $a=0,$ так как число четырехзначное;
$9,8,1.0$ — сумма $18,$ но $0$ на конце;
$9,7,2.0$ — сумма $18;$
$9,6,3.0$ — сумма $18;$
$9,5,4.0$ — сумма $18;$
$8,8,2.0$ — сумма $18;$
$8,7,3.0$ — сумма $18;$
$8,6,4.0$ — сумма $18;$
$7,7,4.0$ — сумма $18;$
$9,9,0.0$ — не подходит;
$9,8,0.1$ — не упорядочено;
$9,7,1.1$ — сумма $18;$
$8,8,1.1$ — сумма $18;$
$8,7,2.1$ — сумма $18;$
$7,7,2.2$ — сумма $18;$
$9,6,2.1$ — сумма $18;$
$8,5,4.1$ — сумма $18.$

Теперь проверим делимость на $8$ для чисел, образованных последними тремя цифрами.

Например, рассмотрим число $9\space720$: последние три цифры $720{:} \quad$ $720 : 8 = 90$ — делится.
Проверим упорядоченность: $9 \geq 7 \geq 2 \geq 0$ — да.
Сумма цифр: $9+7+2+0=18$ — да.
$9\space720 : 24 = 405$ — делится.

Другие числа, например $9630$: последние три цифры $630$: $630 : 8 = 78.75$ — не делится;
$9\space540$: последние три цифры $540{:} \quad$ $540 : 8 = 67.5$ — не делится;
$8\space820$: последние три цифры $820{:} \quad$ $820 : 8 = 102.5$ — не делится;
$8\space730$: последние три цифры $730{:} \quad$ $730 : 8 = 91.25$ — не делится;
$8\space640$: последние три цифры $640{:} \quad$ $640 : 8 = 80$ — делится.
Проверим упорядоченность: $8 \geq 6 \geq 4 \geq 0$ — да.
Сумма цифр: $8+6+4+0=18$ — да.
$8\space640 : 24 = 360$ — делится.

Таким образом, числа $9\space720$ и $8\space640$ удовлетворяют всем условиям.