19. Числа и их свойства: #212655

Число при делении на $2,$ $3$ и $5$ дает остаток $1,$ значит, число минус $1$ делится на НОК$(2.3,5)=30.$ Следовательно, число имеет вид $30k + 1,$ где $k$ — натуральное число.

Так как число трехзначное и больше $800,$ то:
$800 < 30k + 1 < 1000;$
$799 < 30k < 999;$
$26.63 < k < 33.3;$
Таким образом, $k = 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33.$

Вычислим числа:
$k=27{:} \quad $ $30 \cdot 27 + 1 = 811;$
$k=28{:} \quad$ $30 \cdot 28 + 1 = 841;$
$k=29{:} \quad$ $30 \cdot 29 + 1 = 871;$
$k=30{:} \quad$ $30 \cdot 30 + 1 = 901;$
$k=31{:} \quad$ $30 \cdot 31 + 1 = 931;$
$k=32{:} \quad$ $30 \cdot 32 + 1 = 961;$
$k=33{:} \quad$ $30 \cdot 33 + 1 = 991.$

Теперь проверим условие, что сумма цифр числа равна $10{:}$
число $811{:}$ $8+1+1=10$ — подходит;
число $841{:}$ $8+4+1=13$ — не подходит;
число $871{:}$ $8+7+1=16$ — не подходит;
число $901{:}$ $9+0+1=10$ — подходит;
число $931{:}$ $9+3+1=13$ — не подходит;
число $961{:}$ $9+6+1=16$ — не подходит;
число $991{:}$ $9+9+1=19$ — не подходит.

Таким образом, условию задачи удовлетворяют числа: $811$ и $901.$