19. Числа и их свойства: #212653

Число при делении на $4,$ $5$ и $6$ дает остаток $2,$ значит, число минус $2$ делится на НОК$(4.5,6)=60.$ Следовательно, число имеет вид $60k + 2,$ где $k$ — натуральное число.

Так как число трехзначное и больше $600,$ то:
$600 < 60k + 2 < 1000;$
$598 < 60k < 998;$
$9.97 < k < 16.63;$
Таким образом, $k = 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16.$

Вычислим числа:
$k=10{:}$ $60 \cdot 10 + 2 = 602;$
$k=11{:}$ $60 \cdot 11 + 2 = 662;$
$k=12{:}$ $60 \cdot 12 + 2 = 722;$
$k=13{:}$ $60 \cdot 13 + 2 = 782;$
$k=14{:}$ $60 \cdot 14 + 2 = 842;$
$k=15{:}$ $60 \cdot 15 + 2 = 902;$
$k=16{:}$ $60 \cdot 16 + 2 = 962.$

Теперь проверим условие, что все цифры числа различны:
$602{:}$ цифры $6.0,2$ — все различны, подходит;
$662{:}$ цифры $6.6,2$ — есть повторяющаяся цифра $6,$ не подходит;
$722{:}$ цифры $7.2,2$ — есть повторяющаяся цифра $2,$ не подходит;
$782{:}$ цифры $7.8,2$ — все различны, подходит;
$842{:}$ цифры $8.4,2$ — все различны, подходит;
$902{:}$ цифры $9.0,2$ — все различны, подходит;
$962{:}$ цифры $9.6,2$ — все различны, подходит.

Таким образом, условию задачи удовлетворяют числа: $602,$ $782,$ $842,$ $902,$ $962.$