19. Числа и их свойства: #212648

Число при делении на $3,$ $4$ и $5$ дает остаток $1,$ значит, число минус $1$ делится на НОК$(3.4,5)=60.$ Следовательно, число имеет вид $60k + 1,$ где $k$ — натуральное число.

Так как число трехзначное и больше $500,$ то:
$500 < 60k + 1 < 1000;$
$499 < 60k < 999;$
$8.32 < k < 16.65;$
Таким образом, $k = 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16.$

Вычислим числа:
$k=9{:}$ $60 \cdot 9 + 1 = 541;$
$k=10{:}$ $60 \cdot 10 + 1 = 601;$
$k=11{:}$ $60 \cdot 11 + 1 = 661;$
$k=12{:}$ $60 \cdot 12 + 1 = 721;$
$k=13{:}$ $60 \cdot 13 + 1 = 781;$
$k=14{:}$ $60 \cdot 14 + 1 = 841;$
$k=15{:}$ $60 \cdot 15 + 1 = 901;$
$k=16{:}$ $60 \cdot 16 + 1 = 961.$

Теперь проверим условие, что в записи числа есть только три различные цифры:
$541{:}$ цифры $5.4,1$ — все различны, подходит;
$601{:}$ цифры $6.0,1$ — все различны, подходит;
$661{:}$ цифры $6.6,1$ — есть повторяющаяся цифра $6,$ не подходит;
$721{:}$ цифры $7.2,1$ — все различны, подходит;
$781{:}$ цифры $7.8,1$ — все различны, подходит;
$841{:}$ цифры $8.4,1$ — все различны, подходит;
$901{:}$ цифры $9.0,1$ — все различны, подходит;
$961{:}$ цифры $9.6,1$ — все различны, подходит.

Таким образом, условию задачи удовлетворяют числа: $541,$ $601,$ $721,$ $781,$ $841,$ $901,$ $961.$