19. Числа и их свойства: #212645

Число делится на $15,$ если оно делится на $3$ и на $5.$ Признак делимости на $5{:}$ число оканчивается на $0$ или на $5.$ Признак делимости на $3{:}$ сумма цифр делится на $3.$

Произведение цифр равно $30.$ Разложим $30$ на множители-цифры $($ $0$–$9).$ Поскольку число делится на $5,$ последняя цифра может быть $0$ или $5.$

Случай $1{:}$ последняя цифра $5.$
Тогда произведение первых двух цифр должно быть $30 : 5 = 6.$ Возможные пары цифр:
$1$ и $6$ $($сумма $7);$
$2$ и $3$ $($сумма $5);$
$3$ и $2$ $($сумма $5);$
$6$ и $1$ $($сумма $7).$

Общая сумма цифр числа будет $7 + 5 = 12$ или $5 + 5 = 10.$ Сумма $12$ делится на $3,$ а сумма $10$ — нет.

Таким образом, подходят числа с первыми цифрами $1$ и $6{:}$ $165$ и $615.$

Проверим:
число $165{:} \quad 15 = 11,$ произведение цифр $1 \cdot 6 \cdot 5 = 30;$
число $615{:} \quad 15 = 41,$ произведение цифр $6 \cdot 1 \cdot 5 = 30.$

Случай $2{:} $ последняя цифра $0.$
Тогда произведение первых двух цифр должно быть $30 : 0 = \infty$ — но на ноль делить нельзя. Если одна из цифр $0,$ то произведение было бы $0,$ а не $30.$ Этот случай невозможен.

Таким образом, условию задачи удовлетворяют числа $165$ и $615.$

Ответ: $165$ (или $615).$