19. Числа и их свойства: #212642

Число делится на $36,$ если оно делится на $4$ и на $9.$ Признак делимости на $4{:}$ число, образованное последними двумя цифрами, делится на $4.$ Признак делимости на $9{:}$ сумма цифр делится на $9.$

Произведение цифр равно $24.$ Разложим $24$ на множители-цифры $($ $1$–$9).$ Возможные наборы цифр (порядок важен):
$1.1,3.8$ $($сумма $13)$
$1.1,4.6$ $($сумма $12)$
$1.2,2.6$ $($сумма $11)$
$1.2,3.4$ $($сумма $10)$
$1.3,2.4$ $($сумма $10)$
$2.2,2.3$ $($сумма $9)$
$2.3,4.1$ $($сумма $10)$
и другие перестановки.

Из этих наборов только набор $2.2,2.3$ имеет сумму цифр $9,$ которая делится на $9.$ Остальные наборы имеют суммы $10,$ $11,$ $12,$ $13,$ которые не делятся на $9.$

Таким образом, цифры числа должны быть $2.2,2.3$ в некотором порядке. Также число должно делиться на $4,$ то есть последние две цифры должны образовывать число, делящееся на $4.$

Переберем возможные перестановки:
$2223{:}$ последние две цифры $23$ — не делится на $4;$
$2232{:}$ последние две цифры $32$ — делится на $4;$
$2322{:}$ последние две цифры $22$ — не делится на $4;$
$3222{:}$ последние две цифры $22$ — не делится на $4.$

Таким образом, единственное число, удовлетворяющее всем условиям, — $2232.$

Проверим: $2232 : 36 = 62,$ произведение цифр $2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2 = 24.$