19. Числа и их свойства: #212641

Число делится на $24,$ если оно делится на $3$ и на $8.$ Признак делимости на $3{:}$ сумма цифр делится на $3.$ Признак делимости на $8{:}$ число, образованное последними тремя цифрами, делится на $8.$

Произведение цифр находится в интервале $(10; 20),$ поэтому цифры не могут быть слишком большими. Также произведение цифр больше $10,$ поэтому хотя бы одна цифра не равна $1.$

Пусть число имеет вид $abcd,$ где $a,b,c,d$ — цифры, причем $a \neq 0.$

Рассмотрим возможные варианты для последних трех цифр, которые делятся на $8,$ и подберем первую цифру так, чтобы сумма цифр делилась на $3,$ а произведение цифр было между $10$ и $20.$

Подходящие трехзначные числа, делящиеся на $8{:}$ $104,$ $112,$ $120,$ $128,$ $136,$ $144,$ $152,$ $160,$ $168,$ $176,$ $184,$ $192,$ $200,$ $208,$ $\ldots$

Для каждого из них вычислим произведение цифр и подберем первую цифру $a$ от $1$ до $9$ так, чтобы сумма $a + b + c + d$ делилась на $3,$ а произведение $a \cdot b \cdot c \cdot d$ было в интервале $(10; 20).$

Рассмотрим число $112{:}$ произведение цифр $1 \cdot 1 \cdot 2 = 2.$ Нужно подобрать $a$ так, чтобы $a \cdot 2 \in (10; 20),$ то есть $a \in (5; 10).$ Возможные $a{:}$ $6, 7, 8, 9.$ Проверим сумму цифр:
$a=6{:}$ $6+1+1+2=10$ — не делится на $3$;
$a=7{:}$ $7+1+1+2=11$ — не делится на $3$;
$a=8{:}$ $8+1+1+2=12$ — делится на $3,$ произведение $8 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 2 = 16$ — подходит;
$a=9{:}$ $9+1+1+2=13$ — не делится на $3.$

Таким образом, число $8\space112$ подходит.

Рассмотрим число $128{:}$ произведение цифр $1 \cdot 2 \cdot 8 = 16.$ Нужно подобрать $a$ так, чтобы $a \cdot 16 \in (10; 20),$ то есть $a = 1.$ Сумма цифр: $1+1+2+8=12$ — делится на $3,$ произведение $1 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 8 = 16$ — подходит. Число $1\space128.$

Рассмотрим число $136{:}$ произведение цифр $1 \cdot 3 \cdot 6 = 18.$ Нужно подобрать $a$ так, чтобы $a \cdot 18 \in (10; 20),$ то есть $a = 1.$ Сумма цифр: $1+1+3+6=11$ — не делится на $3.$

Рассмотрим число $144{:}$ произведение цифр $1 \cdot 4 \cdot 4 = 16.$ Нужно подобрать $a$ так, чтобы $a \cdot 16 \in (10; 20),$ то есть $a = 1.$ Сумма цифр: $1+1+4+4=10$ — не делится на $3.$

Рассмотрим число $152{:}$ произведение цифр $1 \cdot 5 \cdot 2 = 10.$ Нужно подобрать $a$ так, чтобы $a \cdot 10 \in (10; 20),$ то есть $a = 1.$ Сумма цифр: $1+1+5+2=9$ — делится на $3,$ произведение $1 \cdot 1 \cdot 5 \cdot 2 = 10$ — не подходит $($должно быть больше $10).$

Рассмотрим число $168{:}$ произведение цифр $1 \cdot 6 \cdot 8 = 48.$ Нужно подобрать $a$ так, чтобы $a \cdot 48 \in (10; 20)$ — нет целых $a.$

Таким образом, условию задачи удовлетворяют числа $8\space112$ и $1\space128.$