19. Числа и их свойства: #212639

Число делится на $12,$ если оно делится на $3$ и на $4.$ Признак делимости на $3{:}$ сумма цифр числа должна делиться на $3.$ Признак делимости на $4{:}$ число, образованное последними двумя цифрами, должно делиться на $4.$

Пусть число имеет вид $abc,$ где $a$ — цифра сотен $($ $a$ от $1$ до $9),$ $b$ — цифра десятков, $c$ — цифра единиц. По условию, вторая цифра равна сумме первой и третьей: $b = a + c.$

Так как $b$ — цифра, то $a + c \leq 9.$ Также $a \geq 1,$ $c \geq 0.$

Рассмотрим возможные значения $a$ и $c,$ вычислим $b = a + c,$ затем проверим делимость на $3$ и на $4.$

$a = 1{:}$
$c = 0,$ $b = 1{:}$ число $110$ — сумма цифр $1+1+0=2$ $($не делится на $3);$
$c = 1,$ $b = 2{:}$ число $121$ — $21$ не делится на $4;$
$c = 2,$ $b = 3{:}$ число $132$ — сумма цифр $1+3+2=6$ $($делится на $3),$ $32$ делится на $4$ — подходит;
$c = 3,$ $b = 4{:}$ число $143$ — $43$ не делится на $4;$
$c = 4,$ $b = 5{:}$ число $154$ — $54$ не делится на $4;$
$c = 5,$ $b = 6{:}$ число $165$ — $65$ не делится на $4;$
$c = 6,$ $b = 7{:}$ число $176$ — $76$ делится на $4,$ сумма цифр $1+7+6=14$ $($не делится на $3);$
$c = 7,$ $b = 8{:}$ число $187$ — $87$ не делится на $4;$
$c = 8,$ $b = 9{:}$ число $198$ — $98$ не делится на $4.$

$a = 2{:}$
$c = 0,$ $b = 2{:}$ число $220$ — сумма цифр $2+2+0=4$ $($не делится на $3);$
$c = 1,$ $b = 3{:}$ число $231$ — $31$ не делится на $4;$
$c = 2,$ $b = 4{:}$ число $242$ — $42$ не делится на $4;$
$c = 3,$ $b = 5{:}$ число $253$ — $53$ не делится на $4;$
$c = 4,$ $b = 6{:}$ число $264$ — сумма цифр $2+6+4=12$ $($делится на $3),$ $64$ делится на $4$ — подходит;
$c = 5,$ $b = 7{:}$ число $275$ — $75$ не делится на $4;$
$c = 6,$ $b = 8{:}$ число $286$ — $86$ не делится на $4;$
$c = 7,$ $b = 9{:}$ число $297$ — $97$ не делится на $4.$

$a = 3{:}$
$c = 0,$ $b = 3{:}$ число $330$ — сумма цифр $3+3+0=6$ $($делится на $3),$ $30$ не делится на $4;$
$c = 1,$ $b = 4{:}$ число $341$ — $41$ не делится на $4;$
$c = 2,$ $b = 5{:}$ число $352$ — $52$ делится на $4,$ сумма цифр $3+5+2=10$ $($не делится на $3);$
$c = 3,$ $b = 6{:}$ число $363$ — $63$ не делится на $4;$
$c = 4,$ $b = 7{:}$ число $374$ — $74$ не делится на $4;$
$c = 5,$ $b = 8{:}$ число $385$ — $85$ не делится на $4;$
$c = 6,$ $b = 9{:}$ число $396$ — сумма цифр $3+9+6=18$ $($делится на $3),$ $96$ делится на $4$ — подходит.

$a = 4{:}$
$c = 0,$ $b = 4{:}$ число $440$ — сумма цифр $4+4+0=8$ $($не делится на $3);$
$c = 1,$ $b = 5{:}$ число $451$ — $51$ не делится на $4;$
$c = 2,$ $b = 6{:}$ число $462$ — $62$ не делится на $4;$
$c = 3,$ $b = 7{:}$ число $473$ — $73$ не делится на $4;$
$c = 4,$ $b = 8{:}$ число $484$ — $84$ делится на $4,$ сумма цифр $4+8+4=16$ $($не делится на $3);$
$c = 5,$ $b = 9{:}$ число $495$ — $95$ не делится на $4.$

Дальнейший перебор ($a \geq 5$) не дает новых решений, так как при $a \geq 4$ и $c \geq 0$ условие $b = a + c \leq 9$ выполняется, но либо сумма цифр не делится на $3,$ либо последние две цифры не образуют число, делящееся на $4.$

Таким образом, условию задачи удовлетворяют только числа: $132,$ $264,$ $396.$