19. Числа и их свойства: #212631

Число делится на $55,$ если оно делится на $5$ и на $11.$ Так как число делится на $5,$ оно должно оканчиваться на $0$ или на $5.$ Но по условию все цифры четные, поэтому последняя цифра может быть только $0.$

Используем признак делимости на $11$: разность суммы цифр, стоящих на четных позициях, и суммы цифр, стоящих на нечетных позициях, должна делиться на $11.$

Пусть число имеет вид $abcd,$ где $a,b,c,d$ — различные четные цифры, и $d = 0.$

Четные цифры: $0, 2, 4, 6, 8.$ Так как цифры различны и $d = 0,$ остаются цифры $2, 4, 6, 8$ для $a,$ $b,$ $c.$

Признак делимости на $11$: $(b + 0)- (a + c) = b- a- c$ должно делиться на $11.$

Так как $a,$ $b,$ $c$ — цифры от $2$ до $8,$ максимальная разность $b- a- c$ не превышает $8- 2- 2 = 4,$ а минимальная равна $2- 8- 8 = -14.$ Из этого диапазона на $11$ делится только $0$ и $-11.$

Рассмотрим случай $b- a- c = 0,$ то есть $b = a + c.$

Возможные комбинации:
$a=2,$ $c=4,$ тогда $b=6$: число $2\space640$
$a=2,$ $c=6,$ тогда $b=8$: число $2\space860$
$a=4,$ $c=2,$ тогда $b=6$: число $4\space620$
$a=4,$ $c=6,$ тогда $b=10$ — не подходит
$a=6,$ $c=2,$ тогда $b=8$: число $6\space820$
$a=6,$ $c=4,$ тогда $b=10$ — не подходит
$a=8,$ $c=2,$ тогда $b=10$ — не подходит
$a=8,$ $c=4,$ тогда $b=12$ — не подходит

Проверим полученные числа на делимость на $55{:}$
число $2\space640 {:} \quad 55 = 48$ — подходит
число $2\space860 {:} \quad 55 = 52$ — подходит
число $4\space620 {:} \quad 55 = 84$ — подходит
число $6\space820 {:} \quad 55 = 124$ — подходит

Все цифры в этих числах различны и четны.