Карточки
Тесты
Главная
Курсы
Подписка
8. Анализ утверждений: #212079
В компании работает $60$ сотрудников, из них $45$ человек знают английский язык, а $30$ — французский. Выберите утверждения, которые верны при указанных условиях.
$1)$ В этой компании хотя бы пять сотрудников знают и английский, и французский языки.
$2)$ В этой компании нет ни одного сотрудника, знающего и английский, и французский языки.
$3)$ Если сотрудник этой компании знает английский язык, то он знает и французский.
$4)$ Не более $30$ сотрудников этой компании знают и английский, и французский языки.
В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Общее число сотрудников: $N = 60.$
Пусть:
- $A$ — множество знающих английский, $|A| = 45,$
- $F$ — множество знающих французский, $|F| = 30.$
Обозначим $x = |A \cap F|$ — число сотрудников, знающих оба языка.
Тогда:
- Знают только английский: $|A \setminus F| = 45- x,$
- Знают только французский: $|F \setminus A| = 30- x,$
- Знают хотя бы один язык:
$$|A \cup F| = |A| + |F| — |A \cap F| = 45 + 30- x = 75- x$$ - Не знают ни одного языка:
$$N- |A \cup F| = 60- (75- x) = x- 15$$
Так как количество сотрудников не может быть отрицательным, получаем ограничения:
- $x- 15 \geq 0 \Rightarrow x \geq 15,$
- $x \leq 30$ $($поскольку $|F| = 30 ).$
Таким образом,
$$15 \leq x \leq 30$$
Проверим утверждения:
$1)$ Хотя бы пять сотрудников знают оба языка.
Так как $x \geq 15,$ условие $x \geq 5$ безусловно выполняется. Утверждение верно.
$2)$ Нет ни одного сотрудника, знающего оба языка.
Но $x \geq 15,$ поэтому такие сотрудники есть. Утверждение неверно.
$3)$ Если сотрудник знает английский, то он знает и французский.
Это означало бы, что $A \subseteq F,$ то есть $x = |A \cap F| = |A| = 45.$
Но $x \leq 30,$ поэтому это невозможно. Утверждение неверно.
$4)$ Не более $30$ сотрудников знают оба языка.
Так как $x \leq 30,$ утверждение верно.
20
