8. Анализ утверждений: #212077

Обозначим:

• $A$ — множество печений, посыпанных корицей, $|A| = 10.$
• $B$ — множество печений, посыпанных сахаром, $|B| = 20.$
• Общее число печений: $40.$

Пусть $x$ — число печений, посыпанных и корицей, и сахаром (пересечение $A \cap B$).
Тогда:

• Печений, посыпанных только корицей: $10- x.$
• Печений, посыпанных только сахаром: $20- x.$
• Печений, посыпанных хотя бы одним веществом: $(10- x) + (20- x) + x = 30- x.$
• Печений, ничем не посыпанных: $40- (30- x) = 10 + x.$

Так как количество печений не может быть отрицательным, имеем ограничения:

• $0 \leq x \leq 10$ (так как $|A| = 10$).
• Также $20- x \geq 0$ (что выполняется при $x \leq 20,$ но это слабее).
• Число ничем не посыпанных печений: $10 + x \geq 10$ $($при $x \geq 0 ).$

Теперь проверим каждое утверждение.

Утверждение $1{:} $ Не может оказаться $12$ печений, посыпанных и сахаром, и корицей.
Так как $x \leq 10$ (максимум $10$ печений с корицей), то $x$ не может быть $12.$
Утверждение верно.

Утверждение $2{:}$ Найдется $13$ печений, посыпанных и сахаром, и корицей.
Аналогично, $x \leq 10,$ поэтому $x$ не может быть $13.$
Утверждение неверно.

Утверждение $3{:}$ Если печенье посыпано сахаром, то оно посыпано и корицей.
Это означало бы, что все печенья с сахаром также имеют корицу, то есть $B \subseteq A.$ Тогда $x = |A \cap B| = |B| = 20.$ Но $x \leq 10,$ поэтому это невозможно.
Утверждение неверно.

Утверждение $4{:}$ Найдется $5$ печений, которые ничем не посыпаны.
Число ничем не посыпанных печений равно $10 + x.$
При $x = 0$ это число равно $10$ (есть $10$ непосыпанных).
При $x = 10$ это число равно $20$ (есть $20$ непосыпанных).
Таким образом, в любом случае число ничем не посыпанных печений не меньше $10.$ В частности, найдется $5$ таких печений (даже больше).
Утверждение верно.

Верны утверждения $1$ и $4.$