Карточки
Тесты
Главная
Курсы
Подписка
8. Анализ утверждений: #212074
Василий Олегович был в отпуске $9$ дней и каждый день ходил куда-нибудь гулять. Два раза он ходил на смотровую площадку и $3$ раза ходил на пляж (за день Василий Олегович мог сходить и на смотровую площадку, и на пляж, а мог никуда не ходить, но дважды в день в одно и то же место не ходил). Выберите утверждения, которые верны при указанных условиях вне зависимости от того, в какие дни Василий Олегович ходил на пляж.
- Не может оказаться, что Василий Олегович $4$ дня ходил и на смотровую площадку, и на пляж.
- Было $2$ дня, когда Василий Олегович ходил и на смотровую площадку, и на пляж.
- Было три дня, когда Василий Олегович не ходил ни на смотровую площадку, ни на пляж.
- Если Василий Олегович сходил на смотровую площадку, то в этот же день он ходил и на пляж.
В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Обозначим:
- $S$ — дни посещения смотровой площадки, $|S| = 2.$
- $P$ — дни посещения пляжа, $|P| = 3.$
- Всего дней: $9.$
Пусть $x$ — количество дней, когда Василий Олегович ходил и на смотровую площадку, и на пляж $($пересечение $S \cap P).$
Тогда:
- Дней, когда он ходил только на смотровую площадку: $2- x.$
- Дней, когда он ходил только на пляж: $3- x.$
- Дней, когда он ходил хотя бы в одно место: $(2- x) + (3- x) + x = 5- x.$
- Дней, когда он никуда не ходил: $9- (5- x) = 4 + x.$
Ограничения:
- $0 \leq x \leq 2$ $($так как $|S| = 2 ).$
- Также $3- x \geq 0$ (что выполняется при $x \leq 3,$ но это слабее).
- Число дней без прогулок: $4 + x \geq 4$ $($при $x \geq 0 ).$
Теперь проверим каждое утверждение.
Утверждение $1{:}$ Не может оказаться, что Василий Олегович $4$ дня ходил и на смотровую площадку, и на пляж.
Так как $x \leq 2,$ то $x$ не может быть $4.$
Утверждение верно.
Утверждение $2{:}$ Было $2$ дня, когда Василий Олегович ходил и на смотровую площадку, и на пляж.
Это утверждение говорит, что $x = 2.$ Однако это не обязательно верно. Например, если он ни разу не ходил в оба места в один день $( x = 0 ),$ то утверждение ложно. Утверждение должно быть верным вне зависимости от того, как именно он ходил, но здесь это не так.
Утверждение неверно.
Утверждение $3{:}$ Было три дня, когда Василий Олегович не ходил ни на смотровую площадку, ни на пляж.
Число дней без прогулок равно $4 + x.$
При $x = 0$ это $4$ дня, при $x = 2$ это $6$ дней. Таким образом, в любом случае число дней без прогулок не меньше $4.$ В частности, найдется $3$ таких дня (даже больше).
Утверждение верно.
Утверждение $4{:}$ Если Василий Олегович сходил на смотровую площадку, то в этот же день он ходил и на пляж.
Это означало бы, что все дни с посещением смотровой площадки также содержат посещение пляжа, то есть $S \subseteq P.$ Тогда $x = |S \cap P| = |S| = 2.$ Однако это не обязательно верно. Например, если он никогда не ходил в оба места в один день $( x = 0 ),$ то в дни смотровой площадки он не ходил на пляж. Утверждение должно выполняться всегда, но здесь это не так.
Утверждение неверно.
Верны утверждения $1$ и $3.$
20
