8. Анализ утверждений: #212070

Обозначим:

• $H$ — множество учеников, посещающих кружок по истории, $|H| = 13.$
• $M$ — множество учеников, посещающих кружок по математике, $|M| = 10.$
• Всего учеников: $20.$

Пусть $x$ — число учеников, посещающих оба кружка $($пересечение $H \cap M ).$
Тогда:

• Посещающих только историю: $13- x.$
• Посещающих только математику: $10- x.$
• Посещающих хотя бы один кружок: $(13- x) + (10- x) + x = 23- x.$
• Не посещающих ни один кружок: $20- (23- x) = x- 3.$

Ограничения:

• $x \leq 10$ $ ($так как $|M| = 10 ).$
• Также $x \geq 0.$
• Число не посещающих ни один кружок: $x- 3 \geq 0$ $\Rightarrow$ $x \geq 3$ (иначе отрицательное число, что невозможно).
  Таким образом, $3 \leq x \leq 10.$

Теперь проверим каждое утверждение.

Утверждение $1{:}$ Нет ученика, который не посещает ни кружок по истории, ни кружок по математике.
Это означало бы, что все $20$ учеников посещают хотя бы один кружок.
Но число не посещающих ни один кружок равно $x- 3.$
При $x = 3$ это число равно $0$ (действительно, нет таких учеников).
Однако при $x > 3$ $($например, $x = 5 )$ число не посещающих равно $2.$
Утверждение верно не при всех возможных $x,$ а только при $x = 3.$
Поскольку условие не требует, чтобы $x$ было именно $3,$ утверждение не следует из данных.

Утверждение $2{:}$ Найдутся хотя бы два человека, которые посещают оба кружка.
Из ограничений $x \geq 3,$ поэтому посещающих оба кружка $3$ человека.
В частности, хотя бы два таких человека найдется.
Утверждение верно.

Утверждение $3{:}$ Если ученик не ходит на кружок по истории, то он обязательно ходит на кружок по математике.
Это означало бы, что все ученики, не посещающие историю, посещают математику.
Число не посещающих историю: $20- 13 = 7.$
Если все они посещают математику, то $x$ (посещающих оба кружка) должно быть $7$ (так как не посещающие историю, но посещающие математику — это часть $x ).$
Но $x$ может быть и меньше $7$ $($например, $x = 3 ).$
В этом случае из $7$ не посещающих историю только $3$ посещают математику (так как $|M| = 10,$ но $x=3,$ поэтому только математику посещают $10- 3 = 7$ человек).
Тогда $7$ человек посещают только математику, и они не посещают историю.
Но остальные $20- 13- 7 = 0$ не посещают ни один кружок?
Проверим: при $x=3$ не посещающих ни один кружок: $3- 3 = 0.$
Таким образом, все $7$ не посещающих историю посещают математику.
Однако если $x = 4,$ то не посещающих историю: $7$ человек.
Из них посещающих математику: $10- 4 = 6$ (только математику) и $4$ (оба кружка) — всего $10$ человек.
Но $7$ не посещающих историю включают $6$ (только математику) и $1$ (ничего)?
Число не посещающих ни один кружок: $4- 3 = 1.$
Таким образом, есть $1$ человек, который не посещает историю и не посещает математику.
Значит, утверждение не выполняется.
Поскольку такое возможно $( x=4 ),$ утверждение не следует из данных.

Утверждение $4{:}$ Не найдется $11$ человек, которые посещают оба кружка.
Так как $x \leq 10,$ то $11$ человек не могут посещать оба кружка.
Утверждение верно.

Верны утверждения $2$ и $4.$