Карточки
Тесты
Главная
Курсы
Подписка
8. Анализ утверждений: #212069
В классе учатся $25$ человек, из них $15$ человек посещают кружок по биологии, а $12$ человек — кружок по химии. Выберите утверждения, которые следуют из приведенных данных. В этом классе
$1)$ найдется хотя бы один ученик, который посещает оба кружка;
$2)$ не найдется $13$ человек, которые посещают оба кружка;
$3)$ если ученик не ходит на кружок по биологии, то он обязательно ходит на кружок по химии;
$4)$ не более $10$ человек не посещают ни один из кружков.
В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Обозначим:
- $B$ — множество учеников, посещающих кружок по биологии, $|B| = 15.$
- $C$ — множество учеников, посещающих кружок по химии, $|C| = 12.$
- Всего учеников: $25.$
Пусть $x$ — число учеников, посещающих оба кружка $($пересечение $B \cap C ).$
Тогда:
- Посещающих только биологию: $15- x.$
- Посещающих только химию: $12- x.$
- Посещающих хотя бы один кружок: $(15- x) + (12- x) + x = 27- x.$
- Не посещающих ни один кружок: $25- (27- x) = x- 2.$
Ограничения:
- $x \leq 12$ $($так как $|C| = 12 ).$
- Также $x \geq 0.$
- Число не посещающих ни один кружок: $x- 2 \geq 0$ $\Rightarrow$ $x \geq 2$ (иначе отрицательное число, что невозможно).
Таким образом, $2 \leq x \leq 12.$
Теперь проверим каждое утверждение.
Утверждение $1{:}$ Найдется хотя бы один ученик, который посещает оба кружка.
Так как $x \geq 2,$ то такой ученик обязательно найдется (даже два).
Утверждение верно.
Утверждение $2{:}$ Не найдется $13$ человек, которые посещают оба кружка.
Так как $x \leq 12,$ то $13$ человек не могут посещать оба кружка.
Утверждение верно.
Утверждение $3{:}$ Если ученик не ходит на кружок по биологии, то он обязательно ходит на кружок по химии.
Число не посещающих биологию: $25- 15 = 10.$
Если все они посещают химию, то $x$ (посещающих оба кружка) должно быть $10$ $($так как не посещающие биологию, но посещающие химию, — это часть $x ).$
Но $x$ может быть и меньше $10$ $($например, $x = 2 ).$
При $x = 2{:}$
Посещающих только химию: $12- 2 = 10.$
Не посещающих ни один кружок: $2- 2 = 0.$
Тогда все $10$ не посещающих биологию посещают химию (только химию).
Утверждение выполняется.
Но при $x = 3{:}$
Посещающих только химию: $12- 3 = 9.$
Не посещающих ни один кружок: $3- 2 = 1.$
Тогда есть $1$ человек, который не посещает биологию и не посещает химию.
Значит, утверждение не выполняется.
Поскольку такое возможно $( x = 3 ),$ утверждение не следует из данных.
Утверждение $4{:}$ Не более $10$ человек не посещают ни один из кружков.
Число не посещающих ни один кружок: $x- 2.$
Так как $x \leq 12,$ то $x- 2 \leq 10.$
Утверждение верно.
Верны утверждения $1,$ $2$ и $4.$
20
