Карточки
Тесты
Главная
Курсы
Подписка
8. Анализ утверждений: #212059
В классе учатся $30$ человек, из них $18$ человек посещают кружок по физике, а $14$ человек — кружок по информатике. Выберите утверждения, которые следуют из приведенных данных. В этом классе
$1)$ найдется хотя бы $2$ ученика, которые посещают оба кружка;
$2)$ если ученик не ходит на кружок по физике, то он обязательно ходит на кружок по информатике;
$3)$ не найдется $15$ человек, которые посещают оба кружка;
$4)$ не менее $4$ человек не посещают ни один из кружков.
В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Обозначим:
- $F$ — множество учеников, посещающих кружок по физике, $|F| = 18.$
- $I$ — множество учеников, посещающих кружок по информатике, $|I| = 14.$
- Всего учеников: $30.$
Пусть $x$ — число учеников, посещающих оба кружка $($пересечение $F \cap I ).$
Тогда:
- Посещающих только физику: $18- x.$
- Посещающих только информатику: $14- x.$
- Посещающих хотя бы один кружок: $(18- x) + (14- x) + x = 32- x.$
- Не посещающих ни один кружок: $30- (32- x) = x- 2.$
Ограничения:
- $x \leq 14$ $($так как $|I| = 14 ).$
- Также $x \geq 0.$
- Число не посещающих ни один кружок: $x- 2 \geq 0$ $\Rightarrow$ $x \geq 2$ (иначе отрицательное число, что невозможно).
Таким образом, $2 \leq x \leq 14.$
Теперь проверим каждое утверждение.
Утверждение 1: Найдется хотя бы $2$ ученика, которые посещают оба кружка.
Так как $x \geq 2,$ то такое количество точно найдется.
Утверждение верно.
Утверждение $2{:}$ Если ученик не ходит на кружок по физике, то он обязательно ходит на кружок по информатике.
Число не посещающих физику: $30- 18 = 12.$
Если все они посещают информатику, то $x$ (посещающих оба кружка) должно быть $12$ $($так как не посещающие физику, но посещающие информатику — это часть $x ).$
Но $x$ может быть и меньше $12$ $($например, $x = 2 ).$
При $x = 2{:}$
Посещающих только информатику: $14- 2 = 12.$
Не посещающих ни один кружок: $2- 2 = 0.$
Тогда все $12$ не посещающих физику посещают информатику (только информатику).
Утверждение выполняется.
Но при $x = 3{:}$
Посещающих только информатику: $14- 3 = 11.$
Не посещающих ни один кружок: $3- 2 = 1.$
Тогда есть $1$ человек, который не посещает физику и не посещает информатику.
Значит, утверждение не выполняется.
Поскольку такое возможно $( x = 3 ),$ утверждение не следует из данных.
Утверждение $3{:}$ Не найдется $15$ человек, которые посещают оба кружка.
Так как $x \leq 14,$ то $15$ человек не могут посещать оба кружка.
Утверждение верно.
Утверждение $4{:}$ Не менее $4$ человек не посещают ни один из кружков.
Число не посещающих ни один кружок: $x- 2.$
Минимальное значение при $x = 2{:}$ $2- 2 = 0.$
Максимальное значение при $x = 14{:}$ $14- 2 = 12.$
Таким образом, число не посещающих может быть $0$ $($например, при $x = 2 ),$ что меньше $4.$
Утверждение не следует из данных.
Верны утверждения $1$ и $3.$
20
