8. Анализ утверждений: #212058

Обозначим:

• $L$ — множество учеников, посещающих кружок по литературе, $|L| = 16.$
• $G$ — множество учеников, посещающих кружок по географии, $|G| = 15.$
• Всего учеников: $28.$

Пусть $x$ — число учеников, посещающих оба кружка $($пересечение $L \cap G ).$
Тогда:

• Посещающих только литературу: $16- x.$
• Посещающих только географию: $15- x.$
• Посещающих хотя бы один кружок: $(16- x) + (15- x) + x = 31- x.$
• Не посещающих ни один кружок: $28- (31- x) = x- 3.$

Ограничения:

• $x \leq 15$ $ ($так как $|G| = 15 ).$
• Также $x \geq 0.$
• Число не посещающих ни один кружок: $x- 3 \geq 0$ $\Rightarrow$ $x \geq 3$ (иначе отрицательное число, что невозможно).
  Таким образом, $3 \leq x \leq 15.$

Теперь проверим каждое утверждение.

Утверждение $1{:}$ Найдется хотя бы $3$ ученика, которые посещают оба кружка.
Так как $x \geq 3,$ то такое количество точно найдется.
Утверждение верно.

Утверждение $2{:}$ Не найдется $16$ человек, которые посещают оба кружка.
Так как $x \leq 15,$ то $16$ человек не могут посещать оба кружка.
Утверждение верно.

Утверждение $3{:}$ Если ученик не ходит на кружок по литературе, то он обязательно ходит на кружок по географии.
Число не посещающих литературу: $28- 16 = 12.$
Если все они посещают географию, то $x$ (посещающих оба кружка) должно быть $12$ $($так как не посещающие литературу, но посещающие географию — это часть $x ).$
Но $x$ может быть и меньше $12$ $($например, $x = 3 ).$
При $x = 3{:}$

• Посещающих только географию: $15- 3 = 12.$
• Не посещающих ни один кружок: $3- 3 = 0.$
  Тогда все $12$ не посещающих литературу посещают географию (только географию).
  Утверждение выполняется.
  Но при $x = 4{:}$
• Посещающих только географию: $15- 4 = 11.$
• Не посещающих ни один кружок: $4- 3 = 1.$
  Тогда есть $1$ человек, который не посещает литературу и не посещает географию.
  Значит, утверждение не выполняется.
  Поскольку такое возможно $( x = 4 ),$ утверждение не следует из данных.

Утверждение $4{:}$ Не менее $5$ человек не посещают ни один из кружков.
Число не посещающих ни один кружок: $x- 3.$
Минимальное значение при $x = 3{:}$ $3- 3 = 0.$
Максимальное значение при $x = 15{:}$ $15- 3 = 12.$
Таким образом, число не посещающих может быть $0$ $($например, при $x = 3 ),$ что меньше $5.$
Утверждение не следует из данных.

Верны утверждения $1$ и $2.$