Карточки
Тесты
Главная
Курсы
Подписка
8. Анализ утверждений: #212057
В классе учатся $22$ человека, из них $12$ человек посещают кружок по английскому языку, а $11$ человек — кружок по французскому языку. Выберите утверждения, которые следуют из приведенных данных. В этом классе
$1)$ найдется хотя бы $1$ ученик, который посещает оба кружка;
$2)$ не найдется $12$ человек, которые посещают оба кружка;
$3)$ если ученик не ходит на кружок по английскому языку, то он обязательно ходит на кружок по французскому языку;
$4)$ не более $8$ человек не посещают ни один из кружков.
В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Обозначим:
- $A$ — множество учеников, посещающих кружок по английскому языку, $|A| = 12.$
- $F$ — множество учеников, посещающих кружок по французскому языку, $|F| = 11.$
- Всего учеников: $22.$
Пусть $x$ — число учеников, посещающих оба кружка $($пересечение $A \cap F ).$
Тогда:
- Посещающих только английский: $12- x.$
- Посещающих только французский: $11- x.$
- Посещающих хотя бы один кружок: $(12- x) + (11- x) + x = 23- x.$
- Не посещающих ни один кружок: $22- (23- x) = x- 1.$
Ограничения:
- $x \leq 11$ $($так как $|F| = 11 ).$
- Также $x \geq 0.$
- Число не посещающих ни один кружок: $x- 1 \geq 0$ $\Rightarrow$ $x \geq 1$ (иначе отрицательное число, что невозможно).
Таким образом, $1 \leq x \leq 11.$
Теперь проверим каждое утверждение.
Утверждение $1 {:}$ Найдется хотя бы $1$ ученик, который посещает оба кружка.
Так как $x \geq 1,$ то такой ученик обязательно найдется.
Утверждение верно.
Утверждение $2{:}$ Не найдется $12$ человек, которые посещают оба кружка.
Так как $x \leq 11,$ то $12$ человек не могут посещать оба кружка.
Утверждение верно.
Утверждение $3{:}$ Если ученик не ходит на кружок по английскому языку, то он обязательно ходит на кружок по французскому языку.
Число не посещающих английский: $22- 12 = 10.$
Если все они посещают французский, то $x$ (посещающих оба кружка) должно быть $10$ (так как не посещающие английский, но посещающие французский — это часть $x).$
Но $x$ может быть и меньше $10$ $($например, $x = 1 ).$
При $x = 1{:}$
- Посещающих только французский: $11- 1 = 10.$
- Не посещающих ни один кружок: $1- 1 = 0.$
Тогда все $10$ не посещающих английский посещают французский (только французский).
Утверждение выполняется.
Но при $x = 2{:}$ - Посещающих только французский: $11- 2 = 9.$
- Не посещающих ни один кружок: $2- 1 = 1.$
Тогда есть $1$ человек, который не посещает английский и не посещает французский.
Значит, утверждение не выполняется.
Поскольку такое возможно $( x = 2 ),$ утверждение не следует из данных.
Утверждение $4{:}$ Не более $8$ человек не посещают ни один из кружков.
Число не посещающих ни один кружок: $x- 1.$
Максимальное значение при $x = 11{:}$ $11- 1 = 10.$
Таким образом, число не посещающих может быть $10$ $($при $x = 11 ),$ что больше $8.$
Утверждение не следует из данных.
Верны утверждения $1$ и $2.$
20
