Карточки
Тесты
Главная
Курсы
Подписка
10. Задачи с прикладным содержанием: #211899
Камень брошен вертикально вверх. Пока камень не упал, высота, на которой он находится, описывается формулой $h(t) = -5t^2 + 18t,$ где $h$ — высота в метрах, $t$ — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд камень находился на высоте не менее $9$ метров?
Найдем моменты времени, когда камень находится на высоте $9$ метров, решив уравнение:
$$h(t) = 9 \Rightarrow -5t^2 + 18t = 9$$
Перенесем все члены в левую часть:
$$-5t^2 + 18t- 9 = 0$$
Умножим уравнение на $-1$ для удобства:
$$5t^2- 18t + 9 = 0$$
Решим квадратное уравнение:
$$D = (-18)^2- 4 \cdot 5 \cdot 9 = 324- 180 = 144$$
$$\sqrt{D} = \sqrt{144} = 12$$
$$t = \frac{18 \pm 12}{2 \cdot 5} = \frac{18 \pm 12}{10}$$
Получаем два корня:
$$t_1 = \frac{18 + 12}{10} = \frac{30}{10} = 3$$
$$t_2 = \frac{18- 12}{10} = \frac{6}{10} = 0.6$$
Таким образом, камень находится на высоте $9$ метров в моменты времени $t = 0.6$ с (при движении вверх) и $t = 3$ с (при движении вниз).
Так как траектория движения камня — парабола, направленная ветвями вниз, то на высоте не менее $9$ метров камень находится в интервале между этими моментами:
$$\Delta t = t_2- t_1 = 3- 0.6 = 2.4 \text{ секунды}$$
20
