Карточки
Тесты
Главная
Курсы
Подписка
5. Вероятности сложных событий: #211888
В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причем погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью $0.8$ погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня $3$ июля, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что $6$ июля в Волшебной стране будет отличная погода.
Обозначим:
- $X$ — хорошая погода,
- $O$ — отличная погода.
Сегодня $(3$ июля$)$ погода хорошая $(X).$
Нас интересует погода $6$ июля $($через $3$ дня$).$
Рассмотрим все возможные последовательности погоды на $4, 5$ и $6$ июля, при которых $6$ июля погода отличная $(O).$ Таких последовательностей четыре:
- $XXO$ $(4$ июля — $X,\ 5$ июля — $X,\ 6$ июля — $O),$
- $XOO$ $(4$ июля — $X,\ 5$ июля — $O,\ 6$ июля — $O),$
- $OXO$ $(4$ июля — $O,\ 5$ июля — $X,\ 6$ июля — $O),$
- $OOO$ $(4$ июля — $O,\ 5$ июля — $O,\ 6$ июля — $O).$
Вероятность смены погоды:
- если погода одинакова два дня подряд, вероятность ее сохранения на следующий день: $0.8,$
- вероятность изменения погоды: $1- 0.8 = 0.2.$
Вычислим вероятности для каждой последовательности:
$XXO\:$
- $4$ июля: погода остается хорошей $(X)$ с вероятностью $0.8,$
- $5$ июля: погода остается хорошей $(X)$ с вероятностью $0.8,$
- $6$ июля: погода меняется на отличную $(O)$ с вероятностью $0.2,$
$$P(XXO) = 0.8 \cdot 0.8 \cdot 0.2 = 0.128$$
$XOO\:$
- $4$ июля: погода остается хорошей $(X)$ с вероятностью $0.8,$
- $5 $ июля: погода меняется на отличную $(O)$ с вероятностью $0.2,$
- $6$ июля: погода остается отличной $(O)$ с вероятностью $0.8,$
$$P(XOO) = 0.8 \cdot 0.2 \cdot 0.8 = 0.128$$
$OXO\:$
- 4 июля: погода меняется на отличную (O) с вероятностью $0.2,$
- 5 июля: погода меняется на хорошую (X) с вероятностью $0.2,$
- 6 июля: погода меняется на отличную (O) с вероятностью $0.2,$
$$P(OXO) = 0.2 \cdot 0.2 \cdot 0.2 = 0.008$$
$OOO\:$
- $4$ июля: погода меняется на отличную $(O)$ с вероятностью $0.2,$
- $5$ июля: погода остается отличной $(O)$ с вероятностью $0.8,$
- $6$ июля: погода остается отличной $(O)$ с вероятностью $0.8,$
$$P(OOO) = 0.2 \cdot 0.8 \cdot 0.8 = 0.128$$
Эти события несовместны (каждая последовательность уникальна). Вероятность того, что 6 июля погода отличная, равна сумме вероятностей этих четырех сценариев:
$$P = P(XXO) + P(XOO) + P(OXO) + P(OOO) = 0.128 + 0.128 + 0.008 + 0.128 = 0.392$$
20
