Карточки
Тесты
Главная
Курсы
Подписка
13. Финансовая математика: #211655
В июле $2016$ года планируется взять кредит в банке на четыре года в размере $S$ млн рублей, где $S$ — целое число. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг увеличивается на $15\%$ по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
- в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей:
| Месяц и год | Июль $2016$ | Июль $2017$ | Июль $2018$ | Июль $2019$ | Июль $2020$ |
|---|---|---|---|---|---|
| Долг (млн руб.) | $S$ | $0.8S$ | $0.5S$ | $0.1S$ | $0$ |
Найдите наибольшее значение $S,$ при котором общая сумма выплат будет меньше $50$ млн рублей.
Заполним таблицу по годам:
- В июле $2016$ года долг равен $S.$
- В январе $2017$ года долг увеличивается на $15\%$:
$$\text{Долг в янв. } 2017 = S \cdot 1.15 = 1.15S$$
К июлю $2017$ года долг должен уменьшиться до $0.8S.$ Значит, выплата в $2017$ году:
$$X_1 = 1.15S- 0.8S = 0.35S$$ - В январе $2018$ года долг увеличивается на $15\%$:
$$\text{Долг в янв. } 2018 = 0.8S \cdot 1.15 = 0.92S$$
К июлю $2018$ года долг должен уменьшиться до $0.5S.$ Выплата в $2018$ году:
$$X_2 = 0.92S- 0.5S = 0.42S$$ - В январе $2019$ года долг увеличивается на $15\%$:
$$\text{Долг в янв. } 2019 = 0.5S \cdot 1.15 = 0.575S$$
К июлю $2019$ года долг должен уменьшиться до $0.1S.$ Выплата в $2019$ году:
$$X_3 = 0.575S- 0.1S = 0.475S$$ - В январе $2020$ года долг увеличивается на $15\%$:
$$\text{Долг в янв. } 2020 = 0.1S \cdot 1.15 = 0.115S$$
К июлю $2020$ года долг должен уменьшиться до $0.$ Выплата в $2020$ году:
$$X_4 = 0.115S- 0 = 0.115S$$
Общая сумма выплат:
$$X = X_1 + X_2 + X_3 + X_4 = 0.35S + 0.42S + 0.475S + 0.115S = 1.36S$$
Условие: общая сумма выплат меньше $50$ млн рублей:
$$1.36S < 50 \quad \Rightarrow \quad S < \frac{50}{1.36} = \frac{5000}{136} = \frac{625}{17} \approx 36.7647$$
Так как $S$ — целое число, наибольшее возможное значение:
$$S = 36$$
Ответ: $36$
20
