13. Финансовая математика: #211654

Пусть сумма кредита равна $S$ рублей. По условию, кредит погашается четырьмя равными платежами и общая сумма выплат составляет $311\ 040$ рублей. Следовательно, каждый ежегодный платеж равен:
$$x = \frac{311\ 040}{4} = 77\ 760 \text{ рублей}$$

Проследим за изменением долга после каждого года. В январе каждого года долг увеличивается на $20\%,$ т. е. умножается на коэффициент $1.2.$ После этого (с февраля по июнь) производится выплата $x$ рублей.

• Июль $2018$: долг равен $S.$
• Январь $2019$: долг увеличивается: $1.2S.$
• Июль $2019$: после выплаты: $1.2S- x.$
• Январь $2020$: долг увеличивается: $1.2(1.2S- x).$
• Июль $2020$: после выплаты: $1.2(1.2S- x)- x.$
• Январь $2021$: долг увеличивается: $1.2(1.2(1.2S- x)- x).$
• Июль $2021$: после выплаты: $1.2(1.2(1.2S- x)- x)- x.$
• Январь $2022$: долг увеличивается: $1.2(1.2(1.2(1.2S- x)- x)- x).$
• Июль $2022$: после выплаты: $1.2(1.2(1.2(1.2S- x)- x)- x)- x.$

По условию, после четвертой выплаты (в июле $2022$ года) долг должен быть равен нулю:
$$1.2(1.2(1.2(1.2S- x)- x)- x)- x = 0$$

Раскроем скобки последовательно:

1. После первого года $($июль $2019)$: долг $D_1 = 1.2S- x.$
2. После второго года $($июль $2020)$: долг $D_2 = 1.2D_1- x = 1.2(1.2S- x)- x = 1.2^2S- 1.2x- x.$
3. После третьего года $ ($июль $2021)$: долг $D_3 = 1.2D_2- x = 1.2(1.2^2S- 1.2x- x)- x = 1.2^3S- 1.2^2x- 1.2x- x.$
4. После четвертого года $($июль $2022)$: долг $D_4 = 1.2D_3- x = 1.2(1.2^3S- 1.2^2x- 1.2x- x)- x = 1.2^4S- 1.2^3x- 1.2^2x- 1.2x- x.$

Приравниваем $D_4$ к нулю:
$$1.2^4S- (1.2^3x + 1.2^2x + 1.2x + x) = 0$$

Выразим $S$:
$$S = \frac{1.2^3x + 1.2^2x + 1.2x + x}{1.2^4} = x \cdot \frac{1.2^3 + 1.2^2 + 1.2 + 1}{1.2^4}$$

Вычислим степени:
$$1.2 = \frac{6}{5}, \quad 1.2^2 = \left(\frac{6}{5}\right)^2 = \frac{36}{25}, \quad 1.2^3 = \left(\frac{6}{5}\right)^3 = \frac{216}{125}, \quad 1.2^4 = \left(\frac{6}{5}\right)^4 = \frac{1\ 296}{625}$$

Теперь вычислим числитель:
$$1.2^3 + 1.2^2 + 1.2 + 1 = \frac{216}{125} + \frac{36}{25} + \frac{6}{5} + 1$$

Приведем к общему знаменателю $125$:
$$\frac{216}{125} + \frac{36 \cdot 5}{125} + \frac{6 \cdot 25}{125} + \frac{125}{125} = \frac{216 + 180 + 150 + 125}{125} = \frac{671}{125}$$

Знаменатель: $1.2^4 = \frac{1296}{625}.$

Таким образом:
$$S = x \cdot \frac{671/125}{1\ 296/625} = x \cdot \frac{671}{125} \cdot \frac{625}{1\ 296} = x \cdot \frac{671 \cdot 625}{125 \cdot 1\ 296}$$

Сократим $625$ и $125$:
$$\frac{625}{125} = 5, \quad \text{поэтому} \quad S = x \cdot \frac{671 \cdot 5}{1\ 296} = x \cdot \frac{3\ 355}{1\ 296}$$

Подставим $x = 77\ 760$:
$$S = 77\ 760 \cdot \frac{3\ 355}{1\ 296}$$

Сократим $77\ 760 $ и $1\ 296. $ Заметим, что $1296 = 6^4,$ а $77\ 760 = 77\ 760 / 1\ 296 = 60$ $($поскольку $1296 \cdot 60 = 77\ 760 )$:
$$S = 60 \cdot 3355 = 201\ 300$$

Таким образом, сумма кредита равна $201\ 300$ рублей.

Ответ: $201\ 300$ рублей.