Карточки
Тесты
Главная
Курсы
Подписка
13. Финансовая математика: #211652
$15$-го декабря планируется взять кредит в банке на $1\ 000\ 000$ рублей на $(n+1)$ месяц. Условия его возврата таковы:
- $1$-го числа каждого месяца долг возрастает на $r\%$ по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со $2$-го по $14$-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
- $15$-го числа каждого месяца с $1$-го по $n$-й долг должен быть на $40$ тысяч рублей меньше долга на $15$-е число предыдущего месяца;
- $15$-го числа $n$-го месяца долг составит $200$ тысяч рублей;
- к $15$-му числу $(n+1)$-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Найдите $r,$ если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит $1\ 378$ тысяч рублей.
Пусть сумма кредита равна $1\ 000$ тысяч рублей (по условию). Долг на $15$-е число каждого месяца уменьшается на $40$ тысяч рублей в течение первых $n$ месяцев, а на $(n+1)$-й месяц долг должен быть равен нулю. По условию, на $15$-е число $n$-го месяца долг составляет $200$ тысяч рублей. Таким образом, последовательность долга на $15$-е число (в тыс. рублей) имеет вид:
$$1000, \quad 960, \quad 920, \quad \ldots, \quad 240, \quad 200, \quad 0 $$
Найдем $n.$ Разность между первым и $n$-м членом последовательности равна $1000- 200 = 800$ тысяч рублей, и она уменьшается на $40$ тысяч рублей каждый месяц. Поэтому:
$$n = \frac{1000- 200}{40} = \frac{800}{40} = 20 $$
Таким образом, кредит взят на $n+1 = 21$ месяц.
$1$-го числа каждого месяца долг увеличивается на $r\%.$ Обозначим коэффициент увеличения как $k = 1 + \frac{r}{100}.$ Тогда долг на $1$-е число (в тыс. рублей) составляет:
$$1000k, \quad 960k, \quad 920k, \quad \ldots, \quad 240k, \quad 200k $$
Выплата в каждом месяце (со $2$-го по $14$-е число) представляет собой разность между долгом на $1$-е число и долгом на $15$-е число того же месяца. Для месяцев с $1$-го по $20$-й $($т. е. с $n=20 )$ выплата (в тыс. рублей) равна:
$$1000k- 960 = 1000(k- 1) + 40 $$ $$960k- 920 = 960(k- 1) + 40 $$ $$\ldots$$ $$240k- 200 = 240(k- 1) + 40 $$
Для $21$-го месяца выплата равна долгу на $1$-е число, так как долг на $15$-е число равен нулю:
$$200k $$
Таким образом, общая сумма выплат (в тыс. рублей) составляет:
$$S = \sum_{i=1}^{20} \left[ (1000- 40(i-1))(k- 1) + 40 \right] + 200k$$
Упростим сумму:
$$S = (k- 1) \sum_{i=1}^{20} (1000- 40(i-1)) + 40 \cdot 20 + 200k$$
Вычислим сумму арифметической прогрессии:
$$\sum_{i=1}^{20} (1000- 40(i-1)) = 20 \cdot 1\ 000- 40 \sum_{j=0}^{19} j $$ $$= 20\ 000- 40 \cdot \frac{19 \cdot 20}{2} = 20\ 000- 40 \cdot 190 = 20\ 000- 7\ 600 = 12\ 400$$
Подставим:
$$S = (k- 1) \cdot 12\ 400 + 800 + 200k = 12\ 400k- 12\ 400 + 800 + 200k = 12\ 600k- 11\ 600$$
По условию, общая сумма выплат равна $1\ 378$ тысяч рублей:
$$12600k- 11\ 600 = 1\ 378$$
Решим уравнение:
$$12\ 600k = 1\ 378 + 11\ 600 = 12\ 978,\ k = \frac{12\ 978}{12\ 600} = 1.03$$
Так как $k = 1 + \frac{r}{100},$ то:
$$1 + \frac{r}{100} = 1.03, \frac{r}{100} = 0.03, r = 3$$
Ответ: $3.$
20
