13. Финансовая математика: #211651

Пусть сумма кредита равна $A$ тысяч рублей. По условию, долг на $15$-е число каждого месяца должен уменьшаться на $30$ тысяч рублей в течение первых $20$ месяцев, а на $21$-й месяц долг должен быть равен нулю. Таким образом, последовательность долга на $15$-е число (в тыс. рублей) имеет вид:
$$A, \quad A- 30, \quad A- 60, \quad \ldots, \quad A- 570, \quad A- 600, \quad 0 $$

$1$-го числа каждого месяца долг увеличивается на $3\%,$ поэтому долг на $1$-е число (в тыс. рублей) составляет:
$$1.03A, \quad 1.03(A- 30), \quad 1.03(A- 60), \quad \ldots, \quad 1.03(A- 570), \quad 1.03(A- 600) $$

Выплата в каждом месяце (со $2$-го по $14$-е число) представляет собой разность между долгом на $1$-е число и долгом на $15$-е число того же месяца. Для месяцев с $1$-го по $20$-й выплата (в тыс. рублей) равна:
$$1.03(A- 30(k-1))- (A- 30k) = 0.03(A- 30(k-1)) + 30, \quad \text{где } k = 1, 2, \ldots, 20 $$
Для $21$-го месяца выплата равна долгу на $1$-е число, так как долг на $15$-е число равен нулю:
$$1.03(A- 600) $$

Таким образом, общая сумма выплат (в тыс. рублей) составляет:
$$S = \sum_{k=1}^{20} \left[0.03(A- 30(k-1)) + 30\right] + 1.03(A- 600)$$

Упростим сумму:
$$S = 0.03 \sum_{k=1}^{20} (A- 30(k-1)) + 30 \cdot 20 + 1.03(A- 600)$$

Вычислим сумму арифметической прогрессии:
$$\sum_{k=1}^{20} (A- 30(k-1)) = 20A- 30 \sum_{k=0}^{19} k = 20A- 30 \cdot \frac{19 \cdot 20}{2} = 20A- 5\ 700$$

Подставим:
$$S = 0.03(20A- 5700) + 600 + 1.03(A- 600) = 0.6A- 171 + 600 + 1.03A- 618$$

Приведем подобные слагаемые:
$$S = (0.6A + 1.03A) + (-171 + 600- 618) = 1.63A- 189$$

По условию, общая сумма выплат равна 1 604 тыс. рублей:
$$1.63A- 189 = 1\ 604$$

Решим уравнение:
$$1.63A = 1\ 604 + 189 = 1\ 793, \ A = \frac{1\ 793}{1.63} = 1\ 100$$

Таким образом, сумма кредита составляет $1\ 100$ тысяч рублей.

Ответ: $1\ 100\ 000$ рублей.