13. Финансовая математика: #211468

Обозначим:
$ S = 6 $ млн руб. — сумма кредита,

$ k = 1 + 0.03 = 1.03 $ — коэффициент начисления процентов.

По условию, долг $15$-го числа каждого месяца уменьшается на одинаковую величину. Так как кредит взят на $24$ месяца, долг уменьшается каждый месяц на:
$$ \frac{S}{24} = \frac{6}{24} = 0.25 \text{ млн руб} $$
Составим таблицу для нескольких месяцев.

Структура платежа:
Пусть $ D_n $ — долг на 15-е число $ n $-го месяца (после платежа). Тогда:

$ D_0 = S = 6 ,$
$ D_1 = S- \frac{S}{24} = \frac{23}{24}S ,$
$ D_2 = \frac{22}{24}S ,$
…
$ D_n = \frac{24- n}{24}S .$

В начале $ n $-го месяца $(1$-го числа$)$ долг равен $ k \cdot D_{n-1} .$

Платеж $ P_n $ состоит из двух частей:
проценты за месяц: $ (k- 1) \cdot D_{n-1} ,$
часть основного долга: $ \frac{S}{24} .$

Таким образом:
$$ P_n = (k- 1) \cdot D_{n-1} + \frac{S}{24} $$
Подставим $ D_{n-1} = \frac{24- (n- 1)}{24}S = \frac{25- n}{24}S $:
$$ P_n = (k- 1) \cdot \frac{25- n}{24}S + \frac{S}{24} = \frac{S}{24} \left[ (k- 1)(25- n) + 1 \right] $$
Упростим выражение в скобках:
$$ (k- 1)(25- n) + 1 = (25- n)k- (25- n) + 1 = (25- n)k- 24 + n $$
Таким образом:
$$ P_n = \frac{S}{24} \left[ (25- n)k + n- 24 \right] $$
$2027$ год включает месяцы с $13$-го по $24$-й (так как кредит взят $15.12.2025,$ а $2027$ год начинается с $13$-го месяца).

Найдем сумму платежей за $2027$ год $($месяцы от $ n = 13 $ до $ n = 24 )$:
$$ \sum_{n=13}^{24} P_n = \sum_{n=13}^{24} \frac{S}{24} \left[ (25- n)k + n- 24 \right] $$

Вынесем постоянные множители:
$$ = \frac{S}{24} \left[ k \sum_{n=13}^{24} (25- n) + \sum_{n=13}^{24} (n- 24) \right] $$
Вычислим суммы отдельно.

Первая сумма:
$$ \sum_{n=13}^{24} (25- n) $$ Сделаем замену $ m = n- 12 ,$ тогда $ n = 13 $ соответствует $ m = 1 ,$ $ n = 24 $ соответствует $ m = 12 $:
$$ \sum_{n=13}^{24} (25- n) = \sum_{m=1}^{12} (25- (m + 12)) = \sum_{m=1}^{12} (13- m) = \sum_{j=1}^{12} j \quad (\text{где } j = 13- m) $$ $$ = 1 + 2 + \dots + 12 = \frac{12 \cdot 13}{2} = 78 $$
Вторая сумма:
$$ \sum_{n=13}^{24} (n- 24) $$ Сделаем замену $ p = n- 24 ,$ тогда $ n = 13 $ соответствует $ p = -11 ,$ $ n = 24 $ соответствует $ p = 0 $:
$$ \sum_{n=13}^{24} (n- 24) = \sum_{p=-11}^{0} p $$ Это сумма арифметической прогрессии от $-11$ до $0$:
$$ = (-11) + (-10) + \dots + 0 = -\frac{11 \cdot 12}{2} = -66 $$
Подставим в выражение для суммы платежей:
$$ \sum_{n=13}^{24} P_n = \frac{S}{24} \left[ k \cdot 78 + (-66) \right] = \frac{S}{24} (78k- 66) $$
Подставим $ S = 6 ,$ $ k = 1.03 $:
$$ = \frac{6}{24} (78 \cdot 1.03- 66) = \frac{1}{4} (80.34- 66) = \frac{1}{4} \cdot 14.34 = 3.585 $$
Таким образом, общая сумма платежей в $2027$ году составляет $3.585$ млн руб.

Ответ: $3.585.$