Карточки
Тесты
Главная
Курсы
Подписка
13. Финансовая математика: #211457
В июле $2026$ года планируется взять кредит в банке на три года в размере $ S $ тысяч рублей, где $ S $ — целое число. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг увеличивается на $20\%$ по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
- в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей:
| Месяц и год | Июль 2026 | Июль 2027 | Июль 2028 | Июль 2029 |
|---|---|---|---|---|
| Долг (тыс. руб.) | $ S $ | $0.8 S $ | $0.4 S $ | $0$ |
Найдите наибольшее значение $ S ,$ при котором каждая из выплат будет не больше $840$ тысяч рублей.
Обозначим коэффициент увеличения долга: $ k = 1 + 0.2 = 1.2 .$
План погашения:
- Июль $2026$: долг $ S .$
- Январь $2027$: долг увеличивается до $ 1.2S .$
- Февраль–июнь $2027$: выплата $ P_1 ,$ после чего долг становится $ 0.8S .$
- Январь $2028$: долг увеличивается до $ 1.2 \cdot 0.8S = 0.96S .$
- Февраль–июнь $2028$: выплата $ P_2 ,$ после чего долг становится $ 0.4S .$
- Январь $2029$: долг увеличивается до $ 1.2 \cdot 0.4S = 0.48S .$
- Февраль–июнь $2029$: выплата $ P_3 ,$ после чего долг становится $ 0 .$
Выразим выплаты:
$ P_1 = 1.2S- 0.8S = 0.4S ,$
$ P_2 = 0.96S- 0.4S = 0.56S ,$
$ P_3 = 0.48S- 0 = 0.48S .$
По условию каждая выплата не должна превышать $840$ тыс. руб.:
$$ \begin{aligned} P_1 &= 0.4S \leq 840, \ P_2 &= 0.56S \leq 840, \ P_3 &= 0.48S \leq 840\end{aligned}$$
Наиболее строгое ограничение дает $ P_2 $:
$$ 0.56S \leq 840 \quad \Rightarrow \quad S \leq \frac{840}{0.56} = 1\ 500 $$
Проверим остальные выплаты при $ S = 1\ 500 $:
$ P_1 = 0.4 \cdot 1500 = 600 \leq 840 ,$
$ P_3 = 0.48 \cdot 1500 = 720 \leq 840 .$
Условия выполняются. Так как $ S $ — целое число, наибольшее значение $ S = 1\ 500 .$
Ответ: $1\ 500.$
20
